环Fp+uFp+vFp上的(1+u+v)-循环码

常循环码是一类重要的线性码,由于其纠错性能易于分析,因而广泛应用于实践中,同时,利用有限环上常循环码还可以直接构造最优线性码。定义了有限非链环[Fp+uFp+vFp]上[(1+u+v)]-循环码的相关概念,讨论了其生成多项式;引入了一种新的Gray映射[?],证明了该环上[(1+u+v)]-循环码在此Gray映射[?]下的[p]元象是一个长为[2pn]的2-准循环码,并由此构造出了两个最优二元准循环码。     

环F2+uF2+u2F2上的(1+u+u2）—循环码*

通过定义一种从环F2+uF2+u2F2到域F2上新的Gray映射,将环F2+uF2+u2F2上的线性(1+u+u2)—循环码等距映射成域F2的线性循环码;进一步又给出了在码长n=3(mod 4)时环F2+uF2+u2F2上的线性(1+u+u2)—循环码的Gray象的生成多项式,这对构造新的好码具有重要意义。     

环上Fpk+uFpk的循环码*

利用Gray映射Φ的性质,研究了交换环R=Fpk+uFpk上任意长的循环码。其中p是素数,k是一给定的正整数。证明了环R上长为n的码C是循环码当且仅当Φ(C)是Fpk上指标为pk长为npk的准循环码。特别地,环R上长为n的线性循环码的Gray像是有限域Fpk上指标为pk长为npk的线性准循环码。     

环F_2+uF_2上长为2~s线性循环码的极小距离分布

研究了环F2+uF2上线性循环码的极小距离分布。首先给出了环F2+uF2上线性循环码的结构,利用该结构给出了长度为2s线性循环码的极小距离分布的精确表示。     

环F2+uF2上长为2e的重根循环码与(1+u) 循环码的秩*

通过对环F2 uF2上长为2e的重根循环码与(1 u)-循环码结构的讨论,具体给出了它们的秩和极小生成元集.这对确定码的距离分布以及译码均有重要的意义.     

F2+uF2和Z4上循环码的Gray象

利用Gray映射Φ的性质,研究了环F₂+uF₂和Z₄上的任意长循环码。证明了环F₂+uF₂上任意长码是循环码当且仅当它的Gray象是域F2上的准循环码,得到了Z₄上任意长码是循环码的一个充分必要条件。特别的,环F₂+uF₂上长为n的线性循环码的Gray象是域F₂上指标为2长为2n的线性准循环码,环Z₄上长为n的线性循环码的Gray象是域F₂上指标为2长为2n的准循环码。     

有限链环上循环码的研究

设R为有限链环,定义从Rn到 的Gray映射 ,给出Gray映射 的一个性质。利用Gray映射的性质研究有限链环R上任意长循环码的Gray象。证明有限链环R上长为n的码C是循环码当且仅当它的Gray象 是有限域Fp上指标为pe-1长为npe-1的准循环码。     

环Fp uFp vFp uvFp上的二次剩余码

针对环Fp+ uFp+ vFp+ uvFp上的二次剩余码进行了研究,其中u2=u,v2=v,uv=vu,p是一个奇素数.首先引入了环Fp+ uFp+vFp+ uvFp上长为n的循环码的相关知识,用幂等元的形式定义了环Fp+ uFp+vFp+uvFp上的二次剩余码,给出了其定义和性质,并讨论了它们与其扩展码之间的关系和对偶性质.最后,给出了环F3+uF3+vF3+uvF3上长为11的二次剩余码的幂等生成元的具体形式.     

环F2＋uF2上偶长度的循环码

环F2＋uF2是介于环Z4与域F4之间的一种四元素环,因此它分享了环Z4和域F4的一些好的性质,此环上的编码理论研究已成为一个新的热点。本文给出了环F2＋uF2上任意偶长度的循环码的结构定理,并给出任意长度的循环码的计数公式。     

Z_(p~2)上的循环码和负循环码

应用了Gray映射φ的概念,给出了Zpk+1中的1-pk-循环码与Fp上指标为pk-1长度为pkn的准循环码之间的关系;同时定义了Zp2→Zp2n的映射φ,并且研究了在它作用下负循环码与循环码的关系。     

环F2+uF2+u2F2上线性码的深度分布

记R=F₂+uF₂+u²F₂,定义了环R上码字的深度以及R上线性码的深度分布,研究了环R上码字深度的性质,给出了计算环[R]上码字深度的递归算法。利用环R上的线性码C及其生成矩阵,得到了域F2上的线性码C1,Cu,Cu2及相应的生成矩阵。通过域F2上的线性码C1,Cu,Cu2之间的关系,讨论了环R上的线性码的深度谱和深度分布,进而得到R上一类线性码的深度分布。     

环F2+uF2上的Gray映射

在有限环R=F₂+uF₂与F₂之间定义了一个新的Gray映射。证明了该映射是（Rⁿ,Lee重量）到（F²ⁿ,Hamming重量）的等重等距映射,同时证明了环F₂+uF₂上线性码C的二元像Φ（C）是距离不变码,而且如果环F₂+uF₂上线性码C是Lee恒距码,则二元像Φ（C）是F₂上Hamming恒距码。     

二元域上三次和四次剩余码的幂等生成元

有限域上高次剩余码的生成多项式都是多项式[xn-1]的因式。针对多项式[xn-1]在有限域上分解的困难性,给出了二元域[F2]上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式。利用计算机软件求解该幂等生成元与[xn-1]最大公因式就可得到三次和四次剩余码生成多项式而不用分解[xn-1]。     

u-Constacyclic codes over $${\mathbb {F}}_p+ u{\mathbb {F}}_p$$Fp+ uFp and their applications of constr ucting new non-binary q uant um codes

Structural properties of u-constacyclic codes over the ring \({\mathbb {F}}_p+u{\mathbb {F}}_p\) are given, where p is an odd prime and \(u^2=1\). Under a special Gray map from \({\mathbb {F}}_p+u{\mathbb {F}}_p\) to \({\mathbb {F}}_p^2\), some new non-binary quantum codes are obtained by this class of constacyclic codes.