对边幻图猜测的一个证明

令简单图Ｇ＝（Ｖ,Ｅ）是有ｐ个顶点ｑ条边的图。假设Ｇ的顶点和边由１,２,３．．．,ｐ＋ｑ所标号,且ｆ：Ｖ∪Ｅ＝「１,２,．．．,ｐ＋ｑ」是一个双射。如果对所有的边ｘｙ,ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘｙ）是常量,则称图Ｇ是边幻图（ｅｄｇｅ－ｍａｇｉｃ）。毛毛虫图是一个树,移走它的所有端点产生一个路（称为Ｔ的脊或主干）。例如,路和星图是毛毛虫图。证明了毛毛虫图是边幻图,从而证明了顶点不超过８的树的边幻图。     

给定边独立数的树的谱半径的新上界

图的特征值在量子化学理论中有其物理意义。利用从一个顶点向另一个顶点移动边时谱半径的变化,该文得到了给定顶点数和边独立数的所有树的谱半径的几个新的上界并且确定了达到上界的所有树。     

k—覆盖图的一个充分条件

论证了整数ｎ（ｎ≥３）和ｋ（ｋ≥２），若ｋ为奇数，则令ｋ≥ｎ－１，Ｇ是一个不含Ｋ１，ｎ的２－边连通图，ｋ│Ｖ（Ｇ）│≡ｏ（ｍｏｄ２），设Ｇ的顶点最小度α（Ｇ）至少为（ｎ＾２／４（ｎ－１）ｋ＋（３ｎ－６）／２＋（ｎ－１）／４ｋ，则Ｇ是ｋ－覆盖图，并且说明了定理条件“２－边连通”不能减弱为“连通”。     

偶图的圈

Ｊａｃｋｓｏｎ（１９８１）对一类特殊的偶图给出了其圈长的估计，设Ｇ是以（Ａ，Ｂ）为顶点二分划的偶图，ｋ＝ｍｉｎ（ｄ（ｕ）│ｕ∈Ａ））≥２，２≤│Ａ│≤ｋ，│Ｂ│≤２ｋ－２，则最长圈Ｃ（Ｇ）＝２│Ａ│。这里对上述结果进行了改进得到下述定理，设Ｇ是以（Ａ，Ｂ）为顶点二分划的偶图，ｄ（ｘ）＝ｍｉｎ（ｄ（ｕ）│ｕ∈Ａ）＝ｋ≥２，λ＝ｍｉｎ（ｄ（ｕ）│ｕ∈Ａ／（ｘ）≥ｋ，２≤│Ａ│≤λ，│Ｂ│≤λ＋ｋ－２，     

k-覆盖图的一个充分条件

论证了对整数ｎ（ｎ≥３）和ｋ（ｋ≥２），若ｋ为奇数，则令ｋ≥ｎ－１，Ｇ是一个不含Ｋ１，ｎ的２边连通图，ｋ｜Ｖ（Ｇ）｜≡ｏ（ｍｏｄ２），设Ｇ的顶点最小度α（Ｇ）至少为（ｎ２／４（ｎ－１））ｋ＋（３ｎ－６）／２＋（ｎ－１）／４ｋ，则Ｇ是ｋ覆盖图．并且说明了定理中条件“２边连通”不能减弱为“连通”．     

树图的Hamilton性质

设Ｔ（Ｇ）为连通图Ｇ的树图，若Ｇ至少有三个支撑树，且Ｇ＾ｓ≠Ｆ１，则Ｔ（Ｇ）是Ｅ２－Ｈａｍｉｌｔｏｎ的。     

偶图的周长

设Ｇ是以（Ａ，Ｂ）为顶点二分划的偶图，ｄ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｄ（ｕ）｜ｎＡ｝＝ｋ≥２，λ＝ｍｉｎ｛ｄ（ｕ）｜ｕＡ＼（ｘ）｝≥ｋ，２≤｜Ａ｜≤λ，｜Ｂ｜≤λ＋ｋ－２，则Ｇ的周长为２｜Ａ｜．     

2连通偶图的周长

设Ｇ是以（Ａ，Ｂ）为顶点二分划的２连通偶图．ｘ∈Ａ且ｄ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｄ（ｕ）｜ｕ∈Ａ｝＝ｋ，｜Ａ｜≤ｋ，｜Ｂ｜≤２ｋ．则Ｃ（Ｇ）＝｜Ａ｜．     

2连通偶图的周长

设Ｇ是以（Ａ，Ｂ）为顶点二分划的２连通偶图，ｘ∈Ａ且ｄ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｄ（ｕ）│ｕ∈Ａ｝＝ｋ，│Ａ│≤ｋｍ，│Ｂ│≤２ｋ＋，则Ｃ（Ｇ）＝２│Ａ│。     

2连通偶图的周长

设Ｇ是以（Ａ，Ｂ）为顶点二分划的２连通偶图，Ｘ∈Ａ且ｄ（ｘ）＝ｍｉｎ（ｄ（ｕ）ｕ∈Ａ）＝ｋ，λ＝ｍｉｎ（ｄ（ｕ）Ｕ∈Ａ＾（ｘ）≥ｋ，若Ａ≤λ，Ｂ≤λ＋ｋ，则Ｃ（Ｇ）＝２（Ａ）。     

r-正则图为k-消去图的充分条件

主要研究了正则图中的ｋ－消去图与图的边连通度之间的关系,从而推广了Ｂｏｌｏｂáｓ的结果．其结果如下：Ⅰ设Ｇ是一个ｒ－正则图,｜Ｖ（Ｇ）｜为偶数,λ（Ｇ）≥２．若ｋ为一整数,且ｒ／λ≤ｋ≤ｒ－ｒ／λ,则Ｇ为ｋ－消去图．Ⅱ设ｒ和ｋ为偶数,２≤ｋ≤ｒ,则每一个ｒ－正则图都为ｋ－消去图．Ⅲ设Ｇ为ｒ－正则图,λ（Ｇ）＝λ≥２,且λ＊＝２［λ／２］＋１．若ｒ为奇数,ｋ为偶数,且使得２≤ｋ≤ｒ－ｒ／λ＊,则Ｇ为ｋ－消去图．     

两类联图的全着色

一个图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）的一个ｋ－全着色是从Ｖ∪Ｅ到Ｉｋ＝｛１，２…ｋ｝上的一个映射ψ；如果对Ｖ∪Ｅ中任意两个相邻或相关联的元素ｅ１，ｅ２，都有ψ（ｅ１）≠ψ（ｅ２）时，则称ψ为Ｇ的一个正规全着色。图Ｇ的全色数定义为ｘＴ（Ｇ）＝ｍｉｎ｛ｋ｜存在Ｇ的一个正规ｋ－全着色｝。令Ｃｎ为ｎ个点的图，Ｋ↑－ｍ为ｍ个点的独立集，Δ为图的最大度。本文证明了在ｍ≠ｎ时联图Ｃｍ＋Ｃｎ的全色数为Δ＋１；在ｍ＋２〈ｎ或ｍ〉ｎ     

图的最大拉普拉斯特征值的上界

设G=（V,E）是n阶简单连通图,D（G）和A（G）分别表示图的度对角矩阵和邻接矩阵,L（G）=D（G）-A（G）则称为图G的拉普拉斯矩阵。利用图的顶点度和平均二次度结合非负矩阵谱理论给出了图的最大拉普拉斯特征值的新上界,同时给出了达到上界的极图,并且通过举例与已有的上界作了比较,说明在一定程度上优于已有结果。     

全制约数的上界

设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是无孤立点的简单图．设Ｔ是Ｖ的子集，如对任意Ｕ∈Ｖ，存在ｕ∈Ｔ使得ｕｖ∈Ｅ，则称Ｔ为Ｇ的全制约集．全制约集的最小基数称为Ｇ的全制约数，记作γｔ（Ｇ）．本文证明了如Ｇ是阶数ｎ≥３，最小度至少为２的连通图，则γｔ（Ｇ）≤４「（ｎ＋ｌ）／７」     

独立数,连通度及r—消去图

改进了关于ｒ－因子的结果，给出了一个图是ｒ－消去图的充分条件，并且用例子说明此结果是最好的可能。结果如下：定理Ｉ设ｒ≥１是奇数，Ｇ是一简单图，且Ｖ（Ｇ）为偶数，如果ｋ（Ｇ）〉（ｒ＋１）＾２／２，且（ｒ＋１）＾２ａ（Ｇ）〈４ｒｋ（Ｇ），那么Ｇ为ｒ－消去图。定理Ⅱ设ｒ≥２为偶数，Ｇ是一简单图，如果ｋ（Ｇ）〉ｒ（ｒ＋２）／２，且（ｒ＋２）ａ（Ｇ）〈４ｋ（Ｇ），则Ｇ为ｒ－消去图。     

独立数、连通度及r－消去图

改进了关于ｒ－因子的结果，给出了一个图是ｒ－消去图的充分条件．并且用例子说明此结果是最好的可能．结果如下：定理Ⅰ设ｒ≥１是奇数，Ｇ是一简单图，且Ｖ（Ｇ）为偶数，如果ｋ（Ｇ）＞（ｒ＋１）２／２，且（ｒ＋１）２α（Ｇ）＜４ｒｘ（Ｇ），那么Ｇ为ｒ－消去图．定理Ⅱ设ｒ≥２为偶数，Ｇ是一简单图，如果ｋ（Ｇ）＞ｒ（＋２）／２，且（ｒ＋２）ａ（Ｇ）＜４ｋ（Ｇ），则Ｇ为ｒ－消去图．     

Hamiltonian连通图的一个范－型条件

在一个图Ｇ中，对于两个不相邻点ｕ，ｖ，用α（ｕ，ｖ）表示包含ｕ和ｖ的最大独立集的个数．本文证明了：如果Ｇ是一个包含ｎ个顶点的３－连通图，对于Ｇ中每一对满足１≤｜Ｎ（ｕ）∩Ｎ（ｖ）｜≤α（ｕ，ｖ）－１的不相邻顶点ｕ，ｖ有ｍａｘ｛ｄ（ｕ），ｄ（ｖ）｝≥ｎ＋１２，那么Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ连通的或者Ｇ属于特殊图类     

结点数为2k-4的最小广播图

改进了文献（７）给出了广播函数Ｂ（２＾ｋ－４）（ｋ≥４）的下界，构造了一个ｎ＝２＾ｋ－４的极小广播图，从而得到了Ｂ（２＾ｋ－４）（ｋ≥４）的一上界，并给出了一个ｍｂｇ（２８），该图的边数为４８，达以了Ｂ（２８）的下界值。     

k─覆盖图的邻集和最小度

研究了为保证一个图Ｇ是ｋ－覆盖图，Ｇ所具有的独立集邻集的基数和最小度。     

一些特殊图的生成函数

利用“图型序列的母函数”所给出的图型序列生成函数的性质，本文导出一些重要特殊图的生成函数。ｎ，ｍ（－ｘ）＝１，所以有定理４设Ｇ为ｎ阶出（或人）ｋ正则图（每个顶点的出（或人）度均为ｋ），则证明由条件可知，Ｉ—Ａｘ的各行之和均为１－ｋｘ，Ｉ＋ｘ的各行之和均为１＋（ｎ－ｋ）ｘ，于是其中ａｉｊ＝１－ａｉｊ由此可得定理５无向轮图的生成函数为证明因为具有ｎ个顶点的轮图的补图是由仅有一个含自回路的顶点及ｎ－１阶ｎ－３正则图构成的非连通图，所以由此可得定理６　ｎ阶无环无向路的生成函数其中△＝证明　设Ｐｎ的邻接矩阵为Ａ，则设Ｄｎ的伴随矩阵易知Ｄｉｊ＝Ｄｊｉ，当ｊ≥ｉ时，于是代入后，经整理即得证。推论１加环有向路的生成函数推论２无环有向路的生成函数参考文献