多步Runge-Kutta方法的PDIRK实现

１．引言考虑Ｎ维刚性常微分方程的初值问题其中ｆ是充分光滑的非线性函数,由于问题（１）为刚性问题,所以仅有隐式方法能用于求解该类问题．隐式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法和隐式线性多步法是其中广泛用于求解形如（１）的方法,但这两种方法都具有各自的缺点：隐式线性多步法在方法的阶升高的时候不能保持很好的稳定性（Ｗｉｄｌｕｎｄ证明了所有Ａ稳定的这类方法的阶都不超过２）,而ｓ级隐式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法虽然能够将较高的方法阶和稳定性结合起来,却需要更多的计算量,在每个积分步中,都需要求解一个ｓＮ维的非线性的…     

计算微分代数系统的实时仿真算法

§１．引言 对于由微分代数方程所表示的动力系统的数值算法,针对微分代数方程的一些特殊形式已经构造了一些有效算法如文献[1]-［４］．这些数值算法大部分都是基于常微分方程的一些隐式公式如隐式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法,向后微分公式（ＢＤＦ）等,因此这些算法都是非实时仿真算法．如果我们直接用求解常微分方程的显式公式如显式 Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法,显式线性多步法等,虽然满足了实时仿真算法的一些特点,但是这些数值公式对微分代数方程的求解不甚理想．由于一个实时仿真算法具有实时性、周期性、可靠性等特性要求,因…     

基于IMEX的织物动态仿真的近似解法

织物在空间运动的刚性特征始终是困扰织物动态仿真的难题．显式方法简单灵活，易于实现，但受稳定因素影响，无法实现具有刚性特征的织物动态模拟；隐式方法稳定性好，却忽略了非线性因素，而且计算复杂，直接影响到仿真的最终结果和实际效率．针对这一问题，提出了基于隐式一显式的近似解法，该方案从系统受力形变的非线性特征出发，将质点受力分为线性和非线性两部分，线性部分采用隐式解法，非线性部分利用显式解法，线性方程组的求解则运用近似解法．实验结果表明，该方法兼具两种方法的优点，既保留了隐式方法的稳定性，又充分利用了显式方法的简易性处理非线性特征，从而从真正意义上解决织物仿真中的刚性问题．     

无约束优化的两类变参数共轭梯度法

§１．引言 共轭梯度法是求解无约束优化问题ｍｉｎ ｆ（ｘ）的一类非常重要且有效的方法．当目标函数ｆ（ｘ）连续可做时,其迭代格式为这里 ｑｋ＝ 　ｆ（ｘｋ）,ｄｋ是一个搜索方向．当 ｆ（ｋ）为凸二次函数时,适当选择系数 Ｂｋ－１,使得ｄｋ与ｄｌ,ｄ２,…,ｄｋ－１关于ｆ（ｘ）的Ｈｅｓｓｅ矩阵共轭。ａｋ是由精确线性搜索确定的步长．共轭梯度法具有二次终止性．然而当目标函数为一般的非线性函数时,即使在精确线性搜索下,各共轭梯度法的收敛性也很难保证．［１,２］证明了 ＦＲ方法在精确线性搜索下仍具有全局收敛性．然…     

求解非线性最小二乘问题的实用型方法

１．引言对于非线性最小二乘问题其中,为残差向量且,这里是指通常意义下的范数,即二范数．目标函数的梯度和Ｈｅｓｓｅ矩阵为其中　矩阵, 求解非线性最小二乘问题（１．１）的最基本方法是Ｇａｕｓｓ－Ｎｅｗｔｏｎ法,迭代格式为其中ｄｋ为线性方程组的解,这． 当人为满秩矩阵时,线性方程组（１．５）有唯一解,即并且有如下不等式：其中　是矩阵　的最小特征值．当　人接近奇异时,因此有可能存在着 ｄｋ,使得,即某一步迭代的步长太大,导致 Ｇａｕｓｓ－Ｎｅｗｔｏｎ法迭代失败． 另外,当　为奇异矩阵时,线性方程组（１．５）…     

欧拉方程的velicity表示和辛积分(Ⅱ)

１．引言这篇文章的目的是辨别辛方法得出的结果与龙格－库塔法相比是同样好或是更好,特别对长时间．文中的数值实验显示对于ｔ＝０．１,用ＩＭ格式,在ｔ＝６时将得到不均匀分布的点．２．计算的描述本文将显示用［４］中描述的近似获得的数值结果．结论写在末尾．对［４］中的哈密顿系统（２１）,（２２）,本文将对隐式中点格式（ＩＭ）和二级四阶高斯－勒让德龙格－库塔方法与标准四阶龙格－库塔方法作比较．在数值实验中用了三个不同的哈密顿函数：一个是［４］中哈密顿函数（１９）,其他的是通过省略ｋ＝ｊ项和双倍这项从［４］中…     

非线性RK方法求解微分代数方程

51．引言微分代数方程（DAE）来源于力学系统的变分方法、电路模拟与控制问题、奇异摄动方程以及偏微分方程的数值解等方面．自70年代Gear同提出这一类方程的数值求解问题以来，经过Gear，Petzold，Hairer，Wanner及Rheinboldt等人的工作，已取得很大进展．Petzold等I‘’l以BDF方法为基础，编制了可求解隐式指标IDAE的软件DASSL，Hairer与Wa．Imer间则以隐式Runge－Kutta方法为基础，针对半显式DAE编制了软件RADAUS．这两类方法均来源于刚性常微分方程的数值求解．由于要满足A稳定或刚性稳定，均为隐式方法，求解的计算较…     

求解非线性悬梁方程行波解的变分算法Mountain Pass算法

§１．引言 经典的求解微分方程初一边值问题的算法，无不要求我们事先对解的某些性质有所了解．例如利用Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法解四阶常微分方程，我们至少需要知道解及其１—３阶导数的初值；又如广义牛顿法则对于初始点的选取有较高的要求，等等．如果事先对所求之解没有足够的了解，就给求解一般（特别是非线性）问题带来困难． １９７３年由 Ａｍｂｒｏｓｅｔｔｉ和 Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ提出的 Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ｐａｓｓ理论（一译“爬山理论”，又译“山径理论”）现己发展成为讨论非线性泛函临界值问题的一个重要方法之一．其几…     

用Mathematica求解Ruuge—Kutta法的稳定域

提出了一种研究高阶Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法及其嵌套方法（以Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ－Ｍｅｒｓｏｎ法为例）的稳定域。该方法简便、直观,并可方便地应用于其它数值积分法。利用计算机代数系统 Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ,给出了一些常用高阶ＲＫ法、嵌套ＲＫ法的稳定域及其在复平面的图形表示,所得结果为月球探测器轨道设计等实际工程计算中自适应积分器的选择提供了重要的依据。     

指数拟合的Runge-Kutta公式

１．方法类ＲＫ（ａ,ｂ,ｃ,ｄ）及其阶条件对于数值积分刚性常微分方程,人们致力于构造Ａ一稳定的方法．然而,当问题真解的快变分量迅速变化时,即使用Ａ一稳定的方法求解,精度的限制也会使得积分步长很小．为此,袁兆鼎等［１］讨论了基于单步多导数方法的指数拟合公式．其优点是只要拟合得当,便可以用较大步长积分．基于这一结果,本文进一步构造不涉及原问题右端函数的高阶导数且指数拟合的ＲＫ公式．设ａ,ｂ,ｃ,ｄ是给定实数且系数由（１．１）给出的ＲＫ方法关单（１．２）记为「（ａ,ｂ,ｃ,ｄ）．易知（ｃＬ［２］,Ｐ．…