关于图的k-因子的一个新结果

推证了命题设G是一个图 ,k是一个自然数。图G的一个k -正则生成子图称为G的一个k-因子。首先给出了一个图G有k -因子的一个充分条件 ,即若G是简单图 ,v是偶数且δ(G) v/ 2 +(k - 2 ) (这里k是整数且k 3) ,则G有k -因子。从而推广了文 [1]的一个结果 ,并得到了一个相关的结果。     

关于D—圈存在性的闭包定理

证明在ν≥３的连通图Ｇ中，如果ｕ与ｖ为二不相邻接顶点，且ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ν－１，则Ｇ中有Ｄ－圈当且仅当Ｇ＋ｕｖ中有Ｄ－圈，由此得到了Ｄ－圈存在性定理的一些推广。     

k—消去图的一个充分条件

论证了：对整数n(n≥3）和k(k≥2）,若k为奇数则k≥n-1,G是一个不含k1,n的2－边连通图,k｜V(G)｜=0(mod 2),设G的顶点最小度α（G)至少为（n^2/4(n-1)k (3n-6)/2 (n-1)/4k,则G是k－消去图,。并且说明了定理中条件“2－边连通”不能减弱的“连通”。     

图的（g,f）—因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ和ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数，且ｇ≤ｆ图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）－因子是Ｇ的一个支撑子图Ｈ，使对任意ｘ∈Ｖ（Ｈ）有ｇ（ｘ）≤ｄＨ（ｘ）≤ｆ（ｘ）若图Ｇ的边集能划分为若干边不相交的（ｇ，ｆ）－因子，则称Ｇ是（ｇ，ｆ）－可因子化的，给出一个图是（ｇ，ｆ）－可因子化的一个充分条件，改进了有关结果。     

k—覆盖图的一个充分条件

论证了整数ｎ（ｎ≥３）和ｋ（ｋ≥２），若ｋ为奇数，则令ｋ≥ｎ－１，Ｇ是一个不含Ｋ１，ｎ的２－边连通图，ｋ│Ｖ（Ｇ）│≡ｏ（ｍｏｄ２），设Ｇ的顶点最小度α（Ｇ）至少为（ｎ＾２／４（ｎ－１）ｋ＋（３ｎ－６）／２＋（ｎ－１）／４ｋ，则Ｇ是ｋ－覆盖图，并且说明了定理条件“２－边连通”不能减弱为“连通”。     

独立数、连通度及r－消去图

改进了关于ｒ－因子的结果，给出了一个图是ｒ－消去图的充分条件．并且用例子说明此结果是最好的可能．结果如下：定理Ⅰ设ｒ≥１是奇数，Ｇ是一简单图，且Ｖ（Ｇ）为偶数，如果ｋ（Ｇ）＞（ｒ＋１）２／２，且（ｒ＋１）２α（Ｇ）＜４ｒｘ（Ｇ），那么Ｇ为ｒ－消去图．定理Ⅱ设ｒ≥２为偶数，Ｇ是一简单图，如果ｋ（Ｇ）＞ｒ（＋２）／２，且（ｒ＋２）ａ（Ｇ）＜４ｋ（Ｇ），则Ｇ为ｒ－消去图．     

κ（≥3）连通偶图的周长

设G（A1，A2，E）为κ（≥3）连通偶图，（A1，A2）为G的顶点二分划，δ=min｛d(x)|x∈V（G）｝，则G的周长至少为2min｛|A1|，|A2|,2δ-1｝（δ图除外），且是最好可能的。     

边色临界图的1-因子和几乎1-因子的存在性

根据Vizing邻接引理和关于临界图的独立数的一个结论,利用图的1-因子和几乎1-因子存在的充要条件,采用结构图论的方法证明了：1）若G是2n阶△～临界图,且△≥n,δ≥n-2,则G存在1-因子;2）若G是2n＋1阶△-临界图,且△≥n＋1,δ≥n-2,则G存在几乎卜因子．     

所有分数(g,f)-因子的邻域不交不相邻顶点邻域并条件

如果对每个满足条件g(ν)≤p(ν)≤f(ν)(对每个顶点ν∈V(G)成立)的函数p:V(G)→N,图G都有分数p-因子,则称图G有所有分数(g,f)-因子。文章给出所有分数(g,f)-因子的邻域不交不相邻顶点邻域并条件,同时说明邻域并条件在一定框架下是最好的。     

独立数,连通度及r—消去图

改进了关于ｒ－因子的结果，给出了一个图是ｒ－消去图的充分条件，并且用例子说明此结果是最好的可能。结果如下：定理Ｉ设ｒ≥１是奇数，Ｇ是一简单图，且Ｖ（Ｇ）为偶数，如果ｋ（Ｇ）〉（ｒ＋１）＾２／２，且（ｒ＋１）＾２ａ（Ｇ）〈４ｒｋ（Ｇ），那么Ｇ为ｒ－消去图。定理Ⅱ设ｒ≥２为偶数，Ｇ是一简单图，如果ｋ（Ｇ）〉ｒ（ｒ＋２）／２，且（ｒ＋２）ａ（Ｇ）〈４ｋ（Ｇ），则Ｇ为ｒ－消去图。     

关于（k,d）——算术图

证明了Kn（n≥5）不是（k，d）－算术图；任意k，d≥1且k≠id，i∈{1，2，…，n－1}，则Km,n为（k，d）－算术图。     

图的(g,f)—因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ和ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数，且ｇ≤ｆ．图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）—因子是Ｇ的一个支撑子图Ｈ，使对任意ｘ∈Ｖ（Ｈ）有ｇ（ｘ）≤ｄＨ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．若图Ｇ的边集能划分为若干个边不相交的（ｇ，ｆ）—因子，则称Ｇ是（ｇ，ｆ）—可因子化的．给出了一个图是（ｇ，ｆ）—可因子化的一个充分条件，改进了有关结果．     

r-正则图为k-消去图的充分条件

主要研究了正则图中的ｋ－消去图与图的边连通度之间的关系,从而推广了Ｂｏｌｏｂáｓ的结果．其结果如下：Ⅰ设Ｇ是一个ｒ－正则图,｜Ｖ（Ｇ）｜为偶数,λ（Ｇ）≥２．若ｋ为一整数,且ｒ／λ≤ｋ≤ｒ－ｒ／λ,则Ｇ为ｋ－消去图．Ⅱ设ｒ和ｋ为偶数,２≤ｋ≤ｒ,则每一个ｒ－正则图都为ｋ－消去图．Ⅲ设Ｇ为ｒ－正则图,λ（Ｇ）＝λ≥２,且λ＊＝２［λ／２］＋１．若ｒ为奇数,ｋ为偶数,且使得２≤ｋ≤ｒ－ｒ／λ＊,则Ｇ为ｋ－消去图．     

图的正交（g,f）——因子分解

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每一个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有２≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）,证明了若Ｇ是（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图,则对Ｇ中任意一个给定的有ｍ条边的子图Ｈ,Ｇ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与Ｈ正交。     

独立数,连通度与r—覆盖

设Ｇ是一个图,如果对Ｇ的任一条边ｅ,Ｇ中存在包含ｅ的ｒ－因子,则称Ｇ是ｒ－覆盖图。文中证明了：如果ｒ≥１是一奇数,Ｇ是一图,│Ｖ（Ｇ）│为偶数。若Ｋ（Ｇ）≥（ｒ＋１＾２／２,（ｒ＋１）＾２α（Ｇ）〈４ｒＫ（Ｇ）,那么,Ｇ是ｒ－覆盖的。如果ｒ≥２为偶数,图Ｇ满足：Ｋ（Ｇ）≥ｒ（ｒ＋２）／２,（ｒ＋２）α（Ｇ）〈Ｋ（Ｇ）,那么,Ｇ是ｒ－覆盖的。     

关于图的(g,f)-因子分解的若干结果

对目前关于图的因子分解研究中的3个问题进行了讨论,得到了以下结果(1)设Z= {x∈V(G) dG(x) - mg(x)≤t(x), 或mf(x) - dG(x)≤t(x);t (x) = f (x)– g (x) > 0}.当Z≠SymbolFCp时,g和f可以不全为偶数,能使(mg, mf)-图有(g, f)-因子分解.(2)G是具有2n个顶点的m-正则图,m ≥n.若(P1,P2,…,Pr)是m的一个划分,则G的边集E(G)能划分成r个部分E1,E2,…,Er,使G[Ei]是G的Pi-因子,其中Pi ≡ 0 (mod 2),I= 2,…, r;P1 ≡m (mod 2).(3)G是具有2n个顶点的m-正则图,m≥n.若G不含有K3,则G有1-因子分解.     

l—群的主极子群格的极小条件

研究了的l-群G的主极子群格PP（G）的极小条件,主要证明了PP（G）满足极小条件当且仅当对于AN∈μГm（G）,N=α^┴,作为应用,还证明了：（1）G是紧生成的l-群,Fν与Fν2是等价的;（2）G是有基的l－群,则P（G）格是完全分配的。     

图的正交(g,f)-因子分解

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每一个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有２≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．证明了若Ｇ是（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）—图,则对Ｇ中任意一个给定的有ｍ条边的子图Ｈ,Ｇ有一个（ｇ,ｆ）—因子分解与Ｈ正交．     

广义Petersen图的可扩性

利用广义Petersen图图的性质,给出了几个重要的引理,证明了当k≥3,n≠ik（i＝2,3）时,广义Petersen图GP（n,k）是2－可扩的。     

求图的[a,b]—因子的有效算法

给出了一个判断图中是否存在［ａ，ｂ］－因子有效算法，其算法复杂性为０（｜Ｅ｜．｜Ｖ｜）。若图中存在［ａ，ｂ］－因子，该算法求出一个［ａ，ｂ］－因子，否则给出了一个［ａ，ｂ］－亏格最小的［０，ｂ］－因子。