可弦长参数化的复有理曲线

鉴于Bézier曲线的弦长参数化在参数曲线的点逆向工程中有着重要的应用,利用复有理Bézier曲线这个工具推导了2次和3次复有理Bézier曲线可弦长参数化的一些充分条件;进一步地,给出了选择控制顶点和权因子来构造可弦长参数化曲线的算法.文中构造的可弦长参数化2次复有理Bézier曲线通过其所有控制顶点;构造的可弦长参...     

有理h-Bézier曲线及其圆锥曲线表示

h-Bézier曲线是具有形状参数的广义Bézier曲线.为了拓展h-Bézier曲线表示能力,通过增加正实数权因子构造有理h-Bézier曲线,可精确表示圆锥曲线.首先定义有理h-Bézier曲线,分析曲线的基本性质;然后推导曲线的升阶公式、deCasteljau算法,以及二次有理h-Bézier曲线与二次有理Bézier曲线的互化;分别从代数和几何的角度,讨论了二次有理h-Bézier曲线表示圆锥曲线的分类情况.另外,还给出喷泉和拱门的造型实例.结合文中的数值实例,显示了有理h-Bézier曲线相比h-Bézier曲线和经典有理Bézier曲线的造型优势和灵活性.     

一次复有理Bézier曲线的最优参数化

为了更加方便清晰地应用复形式的有理deCasteljau算法和细分算法,通过研究一次复有理Bézier曲线的最优参数化问题,提出2种最优参数化方法——代数方法和几何方法.代数方法借助直接的代数运算推导曲线在Mbius变换下的重新参数化,使得这种参数化在L2范数下最接近于弧长参数化;而几何方法从一次复有理Bézier曲线的内在几何性质出发,直接求得曲线在Mbius变换下的最优参数化,进而揭示曲线最优参数化的本质.另外,从应用角度给出了用一次复有理Bézier曲线插值3个给定点的公式.实验结果表明,在最优参数化后,曲线上的等参数点分布更加均匀,因而拥有更强的实用性.     

具有保面积参数化的双二次Bézier曲面

为了构建具有保面积参数化的双二次Bézier曲面,提出2种双二次Bézier曲面的构造算法.首先根据曲面第一微分基本形式,推导双线性和双二次Bézier曲面满足保面积参数化的约束条件,得出具有保面积参数化的双线性有理Bézier曲面只能是平行四边形的结论;然后根据双二次曲面的约束条件,通过求解方程组的形式设计符合约束条件的双二次Bézier曲面构造算法,并且给出并证明了严格满足保面积参数化约束条件的双二次Bézier曲面只能为平面曲面的结论;再将保面积参数化约束条件松弛,基于曲面拟合思想设计具有较强造型能力的双二次Bézier曲面构造算法,构造满足用户指定容差范围的双二次Bézier曲面;最后给出若干具有保面积参数化的双二次Bézier曲面,验证了算法有效性和曲面造型能力.使用C++语言实现的多个等参线分布和纹理映射的实例结果表明,该算法生成的双二次Bézier曲面参数化能够保持面积拉伸.     

2次有理Bézier曲线的最优参数化

把Bézier曲线的最优参数化技术成功地推广到外形设计系统中更为常用的2次有理Bézier曲线场合.新方法能够事先对曲线进行重新参数化,而不需要在计算过程中对非均匀的参数速率采用动态的补偿算法.其关键是巧妙地化简需要求解的高次有理函数积分公式,使得M(o)bius参数变换公式并不是基于数值解法来得到近似解,而是简单明了地具有解析形式的精确解.M(o)bius变换能够保持有理Bézier曲线的控制顶点和形状不变,仅仅改变曲线的参数分布情况.优化后的参数速率保持C1连续.新参数速率关于单位速率的偏离量在L2范数下达到最小,即实现了最优参数化,所得到的参数最为接近弧长参数.新方法简单直接,数值实例验证了算法的正确与有效.     

有理Bézier曲线的分段M?bius重新参数化

为了得到近似弧长参数的有理Bézier曲线表示,提出基于分段M?bius参数变换的有理Bézier曲线的重新参数化方法.该方法将曲线的曲率极大值点作为分段点构造分段M?bius参数函数;在保证参数速率C1的连续条件下,用新参数速率关于单位速率偏离变量的L2范数作为度量标准函数;通过最小化该目标函数求得分段M?bius函数的具体表示.实例结果表明,通过分段M?bius变换后,有理Bézier曲线的参数具有很好的弧长参数近似效果.     

插值有理Bézier渐近四边形的有理Bézier曲面

为构造封闭的曲线为有理Bézier曲面的边界渐近线,给出封闭四边曲线为渐近四边形的条件,并提出插值该四边形的曲面构造方法.首先在给定角点数据的前提下构造优化的n次有理Bézier渐近四边形;然后利用该四边形和曲面在四边形上的切矢确定曲面沿边界的两排控制顶点和权;最后极小化曲面薄板能量函数确定剩余自由的控制顶点,进而构造出光滑的双5n–7次有理Bézier插值曲面.实例展示边界曲线为有理3,4,5次时曲面的构造结果,以及边界曲线含有直线或者拐点的情况,表明该方法是可行的.     

OR插值曲线构造及Bézier曲线逼近

根据平面多项式曲线的等距有理参数化条件,构造了具有不同连续阶的OR插值曲线.由于OR曲线可通过恰当的参数变换产生有理形式的等距线,因此根据给定B啨zier曲线离散端点条件,可构造特定连续阶的OR样条曲线来逼近该Bézier曲线,而将OR样条曲线的精确等距线作为B啨zier曲线的逼近等距线.     

Bézier样条曲线的近似弧长参数化方法

提出了Bézier样条曲线近似弧长参数化的方法及相应的算法.通过求出曲线近似二分之一弧长的点及其相应的参数值,可将曲线分割为两条Bézier样条曲线.这两条曲线的弧长近似相等,因此让它们带有相同的权1.对新生成的Bézier样条曲线不断重复上述工作,最终得到一条由多条Bézier样条曲线所构成的新的曲线.将这多条Bézier样条曲线合并为一条Bézier样条曲线,进而通过节点插入技术将其转化为B样条形式的曲线以便得到全局参数,其中各段Bézier曲线在全局参数域中所占子区间的长度与它们所具有的权成比例,这样便得到一条近似弧长参数化曲线.     

圆域有理Bézier曲线

针对CAD造型系统中有理Bézier曲线数值运算的鲁棒性问题,首先提出了中心投影变换和平行投影变换下的2种圆域有理Bézier曲线,给出了它们的端点插值、仿射不变性等性质,并通过实例比较了它们的误差半径的异同;其次讨论了这2种圆域有理Bézier曲线的退化条件,给出了平行投影变换下的圆域有理Bézier曲线降阶实例.结...