V-系统与几何群组信息的频域表达

V-系统是一类由分片多项式构成的正交函数系,函数系中既有连续函数又有间断函数.它既能用于信号处理,也能适应几何图组整体表达,在计算机辅助几何设计(CAGD)中可以精确重构几何造型信息,做到消除Gibbs现象,从而可以进行复杂造型的整体特征分析.利用三角域上V-系统进行三维复杂几何模型的重构实验,实验结果表明,V-系统对复杂的、连续间断并存的几何信息重构特别有效,这与经典的连续正交函数系及强间断的Walsh及Haar函数系有本质的不同.     

完备正交V-系统及其在几何信息重构中的应用

考虑到几何信息频谱分析的需要,采用L2[0,1]上一类新的完备正交函数系(称之为V-系统),针对CAGD中的几何图组,给出一类信息重构方法.V-系统由分段多项式组成,包括各个层次的间断函数,具有多分辨分析特性和局部性.基于V-系统的算法可以有效地消除几何信息表达中的Gibbs现象.实验结果表明,基于V-系统的几何图组信息重构的方法,为开展几何图组的频谱分析研究打下了基础.     

基于正交完备U-系统的图形分类与识别方法

为了探索有效的图形分类与识别的新方法,引进一类正交完备的分段k次多项式系统(简称U-系统).U-系统是一类属于L²[0,1]的正交完备分段k次多项式系统.该系统下的U级数展开式具有良好的平方逼近及一致逼近性质.基于U-系统理论,提出了U描述子的概念,给出了U描述子的性质并在理论上予以证明.为了更好地对图形分类与识别,对U描述子进行了归一化,同时在理论上证明了归一化U描述子具有旋转、平移、尺度大小等不变的性质.实验表明,归一化的U描述子能够高效、准确地对图形进行分类与识别,与Fourier描述子相比,具有更好的识 别率.     

二维旋转不变U变换及其应用

U-系统是一类L2[0,1]上的正交分段多项式函数系,为了将其推广到二维情形,传统的L2[0,1]2上张量积形式的U变换并不具有旋转不变性.本文提出了一类二维旋转不变U变换（Rotation-invariant U transform,RIUT）. RIUT将U-系统函数与调和函数相结合,使得图像的旋转转化为相位的平移而模保持不变.与经典的正交旋转不变矩（如Zernike矩）相比,RIUT具有诸多特别的性质,从而在图像特征提取中具有良好的潜力.本文将RIUT应用到二值图像检索中的实验结果表明,RIUT具有更高的检索精度.     

广义V-系统的构造及相应的快速变换

为了深入研究信号分析中有效的数学工具——正交函数和正交变换,从Legendre正交多项式出发,构造一类由分段多项式组成的正交函数系,称之为广义k次V-系统,并指出它与k次V-系统的等价关系.首先给出广义k次V-系统对应的离散矩阵,用于广义k次V-变换;然后证明了在保持V-变换的几乎全部特点的同时,广义V-变换还具有快速算法,弥补了V-系统不容易设计快速算法的缺憾.实验结果表明,快速广义V-变换比V-变换在时间效率上有明显提高.     

三角域上正交W系统的构造与应用

一维情形下的W系统是一类新的由分段多项式构成的混合正交函数系.文中对二维情形的W系统进行研究,利用Haar矩阵和一组规范正交的二元多项式,采用递归的方式,以及复制、平移、压缩的方法,构造出了三角域上的W系统,它是一类既包含连续函数又包含各个层次间断的非连续函数的规范正交函数系.三角域上W系统与V系统是等价的,然而W系统的构造过程较V系统更简捷.实验检测例子表明,利用文中给出的系统可以实现由多个分离曲面组成的曲面组的正交分解,从而实现对曲面组的精确重构.     

一类完备的正交分段多项式函数系及其应用

在几何图形或图像边界的频谱分析应用中,用Fourier三角基表示间断图形时必然会出现Gibbs现象,而用Walsh函数表示时,因其收敛速度慢而效果欠佳.本文首先构造了一类分段点在四进制有理数点处的分段多项式函数集(简称四进制U-系统,QU-系统),它是L2[0,1]空间上的完备的正交函数系,并研究了它的性质、基函数与Fourier-QU系数的计算公式,同时,也给出了1～3次QU-系统的一组显式表达式.然后,使用Fourier-QU级数的有限项和表示图像轮廓线,提出用有限的Fourier-QU系数描述几何图形或图像轮廓线,并由此得到了一类新的多项式描述子——QU描述子,而归一化QU描述子是一类基于平移、旋转与尺度变换的特征不变量.最后,通过数值实验证实了使用Fourier-QU级数逼近一元平方可积函数时,其收敛速率要优于Fourier级数、Walsh级数和Fourier-BU级数,同样也验证了QU描述子是一类有效的形状描述子,用图像间的QU距离能准确地描述图像间的相似性.     

基于V-矩的图像分类算法

基于一类不仅含有连续函数,还含有间断函数的正交完备函数系——V-系统,提 出相应的V-矩函数,并将之应用到图像分类中。V-系统中基函数的间断特性,使得V-矩函数 在描述含有多个闭合边界的形状时有特别的优势,这种优势表现为对这类复杂形状的特征提取 更加准确。因此用V-矩可以得到一种图像分类的有效算法。在几个通用数据库中的图像分类 实验表明,本文算法较Zernike 矩、不变矩和几何中心矩有更高的准确率,对噪声不敏感,特 别在含有多个闭合边界的复杂形状分类问题中,本文方法优势更为显著。     

基于正交完备U-系统的参数曲线图组表达

为了探索参数曲线图组的频谱性质,引进一类属于L2[0,1]的正交完备分片k次多项式系统（简称U-系统）.该系统下的U级数展开式具有良好的平方逼近及一致逼近性质,而且能用有限项U级数实现对分段k次多项式参数曲线图组的精确表达;基于U-系统理论,给出了用以计算给定几何图组U-谱的信息转换算法,该算法具有直观、简便、快速的特点.构建的数据处理平台可用于几何信息的分析与综合,并且能在信息安全（信息隐藏、数字水印）及模式识别等方面有实用价值;提供了用U-系统表达参数曲线图组的实验图例.     

一类正交函数系的离散表示及快速变换

V系统是L₂[0,1]上一类新的完备正交函数系,它由分段多项式组成,具有多分辨分析特性和全局/局部性,在几何模型的正交表达方面具有明显的优势,但其快速算法难以得到。利用Haar函数和Legendre多项式构造了一类由分段k次多项式组成的函数系（文中称为W系）,在该函数系上作函数逼近的效果等同于在V系统上的效果,并进一步讨论了一次离散W变换的快速算法,从而部分克服了直接对V系统设计快速算法的困难。     

分形曲线生成的频域方法

目的 分形几何学的理论研究与应用实践方兴未艾,在分形的计算机生成领域,传统方法是在空间域中,通过对生成元的迭代操作而形成。为了扩展分形的生成方法,本文将频谱分析引入到分形几何中。方法 正交函数系是频谱分析的核心问题之一。考虑到分形曲线是一类连续而不光滑的折线型信号,通常的三角函数（Fourier变换）、连续小波变换仅适用于光滑的对象,否则会出现所谓“Gibbs现象”;另一方面,以V-系统为代表的正交分段多项式函数系适用于表达包含间断性的对象,否则会出现信息冗余。因此,通常的正交函数系均不适合分形的频谱表达与分析。针对分形曲线的特点,本文将其视为一次样条函数,通过引入一类正交样条函数系-Franklin函数系,实现了对分形曲线的有限项精确正交表达,得到Franklin频谱,从而完成分形的时频变换。然后,对Franklin频谱系数在不同尺度上进行修改。最后,通过正交重构得到新的分形。结果 对比实验验证了Franklin函数系在分形曲线频域表达方面的优越之处,它既能通过最小项数实现分形的正交表达,而且不会出现Gibbs现象。本文以von Koch曲线、Sierpinski square曲线和Hilbert曲线这3个经典分形为例,通过对Franklin谱在不同尺度上的自由调节,能够方便地生成大量形态各异的新的分形曲线。结论 Franklin谱不仅能够实现对分形曲线的有限精确重构,而且还能在不同尺度上刻画分形的形态特征。基于Franklin频谱调节实现的分形生成方法,只要修改频谱就可以得到大量的新型分形曲线,而且这些分形的样式千变万化,几乎不可预测,这种分形生成方式为分形设计带来了巨大的自由空间,为分形的生成提供了新的思路与方案。     

Properties of the magnitude terms of orthogonal scaling functions

The spectrum of the convolution of two continuous functions can be determined as the continuous Fourier transform of the cross-correlation function. The same can be said about the spectrum of the convolution of two infinite discrete sequences, which can be determined as the discrete time Fourier transform of the cross-correlation function of the two sequences. In current digital signal processing, the spectrum of the continuous Fourier transform and the discrete time Fourier transform are approximately determined by numerical integration or by densely taking the discrete Fourier transform. It has been shown that all three transforms share many analogous properties. In this paper we will show another useful property of determining the spectrum terms of the convolution of two finite length sequences by determining the discrete Fourier transform of the modified cross-correlation function. In addition, two properties of the magnitude terms of orthogonal wavelet scaling functions are developed. These properties are used as constraints for an exhaustive search to determine a robust lower bound on conjoint localization of orthogonal scaling functions.     

Adaptive tracking control for non-affine nonlinear systems with non-affine function possibly being discontinuous

A novel adaptive control scheme is presented for a class of non-affine nonlinear systems with non-affine nonlinear function possibly being discontinuous. A discontinuous condition for non-affine nonlinear systems is present to guarantee the controllability of system. The non-affine nonlinear function is modelled appropriately by using piecewise functions. Based on Lyapunov analysis method, the basic idea of invariant set theory is constructively introduced to prove the boundedness of all the signals in the closed-loop system. Finally, simulation example is provided to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.     

A unified dissipativity approach for stability analysis of piecewise smooth systems

The main objective of this paper is to present a unified dissipativity approach for stability analysis of piecewise smooth (PWS) systems with continuous and discontinuous vector fields. The Filippov definition is considered for the solution of these systems. Using the concept of generalized gradients for nonsmooth functions, sufficient conditions for the stability of a PWS system are formulated based on Lyapunov theory. The importance of the proposed approach is that it does not need any a-priori information about attractive sliding modes on switching surfaces, which is in general difficult to obtain. A section on application of the main results to piecewise affine (PWA) systems followed by a section with extensive examples clearly show the usefulness of the proposed unified methodology. In particular, we present an example with a stable sliding mode where the proposed method works and previously suggested methods fail.