形状调配中带参数的过渡曲线设计

为提高过渡曲线在端点处的连续阶,并赋予过渡曲线相对于固定基曲线的形状调 整能力,从过渡曲线的方程出发,根据预设的连续性目标反推调配函数需满足的基本条件,将 调配函数表达成 Bernstein 基函数的线性组合,组合系数待定,由基本条件和 Bernstein 基函数 的端点性质得出关于待定系数的方程组,解该方程组得出调配函数初步表达式,再借助Bernstein 基函数的升阶公式将初步表达式的次数提高两次,进而在表达式中引入自由参数。调配函数具 有对称性、中点性、单调性、有界性,分析了保证调配函数图形只存在唯一拐点的自由参数取 值范围。取一般参数时,过渡曲线在端点处可达拟 3 C 连续,取特殊参数时可达拟 4 C 连续,分 析了过渡曲线的形状特征,数值实例验证了方法的正确性和有效性。     

基于Metaball的Ck连续过渡曲线的构造

为得到能使过渡曲线在端点处达到 Ck ( k 为任意自然数)连续的多项式势函数的通 用表达式,由连续条件反推的势函数需具备的条件,根据条件个数确定势函数的最低次数,将 势函数表示成 Bernstein 基函数的线性组合,组合系数待定。根据 Bernstein 基函数的端点信息 确定关于待定系数的方程组,解之得出满足连续性要求的势函数。考虑到由该势函数构造的过 渡曲线形状由被过渡曲线唯一确定,又将势函数次数增加一次,得出能使过渡曲线在端点处达 到任意 Ck 连续并且形状可调的多项式势函数的通用表达式。借助 Bernstein 基函数的升阶公式 给出了两种势函数之间的关系,分析了势函数的性质以及相应过渡曲线的特征,给出了势函数 以及过渡曲线的图例,验证了理论分析结果的正确性及所给方法的有效性。     

带形状参数的Bézier曲线的能量优化

相较于经典的Bézier曲线,带形状参数的Bézier曲线提供了独立于控制顶点的形状调整自由度,但同时又增加了设计人员选择形状参数的工作量。鉴于此,主要讨论形状参数的选取方案。首先证明了已有文献中给出的Bernstein基函数的含参数扩展基为全正基,从而保证了相应的带形状参数的Bézier曲线的理论价值;然后采用能量最小化方法来确定曲线中形状参数的取值,推导了曲线的拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小时,形状参数的计算公式,为曲线的应用提供了方便。     

任意阶参数连续的形状可调过渡曲线

目的 针对现有研究未能给出可以使过渡曲线在端点处与被过渡曲线之间达到C^k（k为任意自然数）连续的多项式势函数统一表达式的问题展开研究,以期用简单有效的方式解决这一问题。方法 从过渡曲线的方程出发,借助莱布尼兹公式得出其k阶导矢表达式,根据预设的连续性目标,反推出可使过渡曲线在端点处达到C^k连续的势函数需满足的基本条件。由这些基本条件中所含条件的数量,以及对势函数、过渡曲线的其他期望所对应的条件个数的总量,确定多项式势函数的次数,将势函数表达成相同次数的Bernstein基函数的线性组合,组合系数待定。由势函数需满足的基本条件、其他预期条件,以及Bernstein基函数在端点处的函数值、导数值等信息,得出关于待定系数的方程组。解该方程组,得出满足所有预期目标,并含一个自由参数的多项式势函数的统一表达式。结果 势函数中存在两个参数k和λ,k用于控制过渡曲线与被过渡曲线在端点处的连续阶,在k取定以后,λ可用于控制过渡曲线与被过渡曲线的贴近程度。势函数具有对称性、中点性、有界性,分析了当k固定时,势函数关于变量t和参数λ的单调性,分析了使势函数图形只存在唯一拐点时,自由参数的取值范围。由该势函数构造的过渡曲线,取一般参数时在端点处可达C^k连续,取特殊参数时可达C^k+1连续。分析了过渡曲线的形状特征,当k取定时,λ的值越大,过渡曲线越贴近被过渡曲线。结论 实验数据验证了理论分析结果的正确性,同时直观显示了所给方法的有效性。