波形松弛方法的绝对稳定与压缩

波形松弛(WR)方法是求常微分方程近似解的数值方法,对它的研究多集中于收敛性,极少见到稳定性研究报告,而不稳定的数值方法是没有意义的.借鉴常微分方程数值方法绝对稳定的思想,提出了WR方法的绝对稳定定义.分析连续基本WR方法和基于Θ方法的离散基本WR方法的稳定性,给出了连续和离散WR方法的绝对稳定条件,以及离散WR方法的压缩条件.对于WR方法,分裂函数和数值方法(用于离散连续WR方法)的选择是两个基础问题.论文结论部分地揭示了WR方法的稳定性与分裂函数和数值方法的关系.     

小噪声随机延迟微分方程欧拉方法的收敛性

随机延迟微分方程数值方法中欧拉方法是唯一较为成熟、有效的方法,但欧拉方法的收敛性差,其收敛阶仅为1/2.针对一类特殊的方程即小噪声随机延迟微分方程,给出其欧拉方法更精确的收敛阶,表明欧拉方法是近似1阶收敛的.此外还通过数值实验验证所得结论.     

Runge-Kutta型波形松弛方法的A-稳定

描述芯片或电力系统运行规律的常用数学模型是高维微分代数方程组,其中的微分方程组太大,诸如线性多步法和Runge-Kutta(RK)法等经典数值方法均不能有效求解.为求解这些微分方程组,学者们提出了波形松弛(WR)方法.多数情况下,这些微分方程组是刚性的,求解他们需要稳定性好的隐式方法,尤其需要A-稳定的方法.此外,RK方法是使用最广泛的常微分方程的数值方法.然而,迄今为止尚未发现RK型WR方法A-稳定的研究.本文研究了RK型WR方法的A-稳定性,获得了方法A-稳定的充分条件.常见A-稳定的RK方法有Gauss-Legendre方法、Radau IA方法、Radau IIA方法、Lobatto ⅢA方法、LobattoⅢB方法、LobattoⅢC方法,而且并非RK方法A-稳定,相应的RK型WR方法也A-稳定.在一个假设下,本文所得结果说明当选择低阶Radau IA方法,或Radau IIA方法,或LobattoⅢC方法为底层方法时,存在分裂方式使得RK型WR方法是A-稳定的.     

随机微分方程波形松弛方法的稳定性

针对随机微分方程,提出波形松弛方法的稳定性定义,给出了方法稳定的充分条件,证明了方法在给定的条件下是渐进均方稳定的。将得到的定理用于线性随机微分方程,获得了方法的稳定性条件,该条件表明：对应特定分裂函数的波形松弛方法是稳定的。     

波形松弛方法的稳定性

波形松弛(WR)方法是求解微分方程的一种重要数值方法,迄今为止,关于它的研究集中于收敛性,罕有对其稳定性的研究.提出了常微分方程WR方法稳定的定义.借鉴常微分方程经典数值方法稳定性的常规研究方法,研究WR方法的稳定性,给出了连续WR方法保持三种标准试验方程稳定性的充分条件.使用Lyapunov技巧研究WR方法的压缩性,得到了连续和离散WR方法保持试验方程压缩的充分条件.     

基于θ方法的波形松弛方法的A稳定

描述芯片或电力系统运行规律的常用数学模型是高维微分代数方程组，其中的微分方程组太大，线性多步法和Runge-Kutta法等经典数值方法均不能有效求解。为求解这些微分方程组，借鉴常微分方程经典数值方法的A稳定定义，提出了波形松弛方法A稳定(强A稳定)，给出了基于θ方法的波形松弛方法 A稳定(强A稳定)和非A稳定的条件，以及几个支持理论结果的数值算例。研究结果表明WR方法并非天然继承底层方法的A稳定性，为使波形松弛方法 A稳定，需要使用A稳定的底层方法和适当的分裂函数，这为刚性方程WR方法的构造奠定了理论基础。此外，借鉴经典数值方法的B稳定定义，提出了波形松弛方法的B稳定(强B稳定)，给出了波形松弛方法强B稳定的条件。