定常Navier-Stokes问题低次等阶稳定有限体积元算法研究

通过有限元空间和有限体积元空间的一种双射投影得到了不可压缩流问题低次等阶稳定有限体积元方法.该方法采用低次等阶元P1-P1(或Q1-Q1)对Navier-Stokes(N-S)方程进行数值求解,利用局部压力投影技术进行稳定化处理.通过有限元和有限体积元方法的等价性进行有限体积元方法的理论分析.发现不可压缩流N-S问题在f∈H~1时,稳定有限体积元方法与稳定有限元方法之间具有O(|logh|~(1/2)/h~2)阶超收敛逼近结果.将稳定有限体积算法的三种两重网格格式进行了比较分析,发现当粗、细网格尺度比例选取适当时,两重算法具有传统算法相同的收敛速度,而两重算法具有明显的效率优势,并且Simple格式速度最快,Picard格式更适合较小粘性系数问题的数值求解.     

Poisson方程的Q_1~(rot)元和NF_1元特征值法

本文给出用三维非协调元的特征值方法求解一般的二阶椭圆边值问题的数值计算方法,从而验证了非协调元的收敛性的理论正确性及三维Q_1~(rot)元特征值误差渐进展开式的正确性.本文的数值实验表明:三维Q_1~(rot)元外推特征值下逼近准确特征值;三维NF_1元特征值和外推特征值都下逼近准确特征值;三维Q_1~(rot)元和三维NF_1元二网格离散方案特征值既下逼近准确特征值又上逼近准确特征值;三维Q_1~(rot)元比三维NF_1元有较好的数值表现.     

Upwind格式和ENOLLF格式的修正系数及实验的研究

在分析与总结前人对修正数值格式研究的基础上,针对具体的一阶Upwind格式和二阶ENOLLF格式,通过"修正系数"方法对它们进行修正,详细推导了系数项的修正过程,并将修正后的格式分别称之为MCUpwind格式和MCENOLLF格式.通过理论和修正系数前后格式的对比数值模拟实验表明,修正后的格式保持了原有格式的所有优点,在不增加模板节点数的情况下,能将逼近精度提高一阶,在最坏的情况下可自动降为原格式,并且发现如能在间断或激波附近引入间断解思想等技巧,"修正系数"方法将会更有发展前景.     

一维抛物型方程第三边值问题的紧有限体积格式

本文针对一维抛物型方程第三边值问题提出了一种紧有限体积格式,该格式形成的线性代数方程组具有对称三对角性质,且不可约占优,可以使用追赶法求解.证明了格式按照离散L~2范数在空间方向具有3.5阶精度,在时间方向具有2阶精度.数值算例验证了理论分析的正确性,并说明了格式的有效性.     

一类二维粘性波动方程的交替方向有限体积元方法

针对二维粘性波动方程模型问题,提出了一类基于双线性插值的交替方向有限体积元方法,并给出了两种具体计算格式,一是基于有限差分方法中Douglas思想的格式,二是一类推广型的局部一维格式.分析证明了该方法按照L~2范数在时间和空间方向均有二阶收敛精度.最后,数值算例验证了算法的有效性和精确性.     

一阶迎风和二阶ENO Local Lax-Friedrich格式的修正系数研究

针对一阶迎风格式和二阶ENO Local Lax-Friedrich格式,通过"修正系数"方法对它们进行修正,在不增加模板节点数的情况下,将逼近精度提高一阶,分别称为MCupwind格式和MCENOLLF格式. 理论与数值模拟实验表明,修正后的格式保持了原有格式的所有优点,在最坏的情况下自动降为原格式,"修正系数"方法能在间断或激波附近引入间断解思想将会有更好的发展前景.     

Klein-Gordon方程的紧致辛中点格式

本文利用紧致算子和修正的辛中点格式构造了Klein-Gordon方程初值问题的保结构算法.该紧致辛中点格式在时间方向具有二阶精度,在空间方向具有六阶精度,保持离散的辛结构,是线性稳定的算法.另外,该算法保持线性系统的离散能量,而对非线性系统,该算法满足一个离散能量的转移公式.数值算例验证了理论分析.     

KdV方程带修正函数的格子Boltzmann模拟

采用一种带修正函数的新格子Boltzmann模型模拟了KdV方程,分析了由此得出的迭代格式的单调性和稳定性,得到了格式的单调性条件。在单调性条件下,迭代格式是[L1]稳定的。数值模拟结果表明该格式是可行的。     

一类二次KdV类型水波方程的多辛Fourier拟谱方法

二次KdV类型水波方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景.本文基于Hamilton系统的多辛理论研究了一类二次KdV类型水波方程的数值解法,利用Fourier拟谱方法构造离散多辛格式的途径,并构造了一种典型的半隐式的多辛格式,该格式满足多辛守恒律.数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.     

不可压缩流两重稳定有限体积算法应用研究

通过将局部高斯积分稳定化方法和两重网格算法思想紧密结合,提出了粘性不可压缩流体的两重稳定有限体积算法。将该算法的三种迭代格式进行了效率的分析比较。理论分析和数值实验发现：当粗、细网格尺度比例选择适当时,两重算法与传统算法具有相同精度解的同时,效率大大提高;对不同格式的两重有限体积算法进行比较分析发现：Simple格式计算效率最高,Picard格式次之,Newton格式较低。     

非线性桩基的动力响应分析

假定桩基材料服从一种3次非线性本构关系,同时桩被置于弹性基础上,基于Timoshenko梁的修正理论和广义Hamilton变分原理,建立了非线性弹性桩基动力学行为分析的数学模型,该模型包括了3个位移和2个转动.作为该数学模型的应用,在空间上采用中心差分格式,在时间上采用向后差分格式,计算和分析了非线性弹性桩基受轴力作用时的轴向运动和非线性桩基的平面耦合运动,得到了数值解,考察了非线性弹性性质对结构动力学响应的影响.     

三维非结构网格上求解双曲型守恒律方程的一类三阶精度有限体积格式

考虑标量双曲型守恒律方程,对三维非结构四面体网格给出了一类满足局部极值原理的三阶精度有限体积格式.方法的主要思想是时间和空间分开处理,时间离散采用三阶TVD Runge-Kutta方法;对空间,在每一个四面体单元上基于最小二乘原理构造一个二次多项式,结合数值解光滑探测器和梯度限制器,使其在光滑区域具有高阶精度,在间断区域满足局部极值原理.该格式具有间断分辨能力高,编程实现简便,计算速度快等优点.典型算例的数值试验表明,该格式是有效的.     

二维双曲守恒律标量方程的三阶CWENO-型熵相容算法

应用提出的中心加权基本无振荡(CWENO)-型熵相容格式求解了二维双曲守恒律方程初边值问题,对所得数值结果进行了分析与讨论,并通过与准确解的比较发现该数值求解格式稳定性条件可以取到0.6,而激波过渡带只有1~2个网格单元。实验结果表明该数值求解格式分辨率高且数值稳定性好。     

高阶驻点上精度保持的六阶WENO有限差分格式

在五阶WENO有限差分格式的基础上,六阶WENO有限差分格式引入了额外的四点模板,减少了WENO格式的数值耗散.然而,该格式在驻点上无法达到理想收敛阶.为解决此问题,本文在非线性权重中引入整体模板的光滑性修正因子,使得驻点上非线性权重更快地收敛于理想权重,理论分析表明改进后的六阶格式能够在驻点上达到理想的六阶精度.驻点上的收敛阶测试和间断问题的数值实验表明,新提出的六阶WENO格式不仅在驻点上能够保持理想收敛精度,在间断问题上能保持本质无振荡的激波捕捉性质,同时在双曲守恒律解的光滑区域有效地求解细小尺度结构,还能够保持原有的六阶格式的计算效率.     

《计算数学》2021年第43卷第1期摘要

袁光伟.非正交网格上满足极值原理的扩散格式[J].计算数学,2021,43(1)1-16.摘要:构造了非正交网格上扩散方程新的非线性单元中心型有限体积格式,证明了该格式满足离散极值原理.且在适当条件下具有强制性、以及在离散H1范数下解的有界性和一阶收敛性.     

Newton型方法的推广与改进

对解非线性方程组Newton迭代格式进行了改进,得到了两种比Newton法较为宽松的并且收敛速度较快的新的迭代格式.从而构造了两种新的Newton型迭代法.理论分析和数值实验证明这两种方法是稳定且有效的.     

变形Boussinesq方程组的多辛Preissmann格式计算研究

基于Hamilton空间体系的多辛理论,研究了变形Boussinesq方程组的数值解法. 利用Preissman方法构造离散多辛格式的途径,并构造了一种典型的半隐式的多辛格式,该格式满足多辛守恒律. 数值算例结果表明: 该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.     

二维土壤水中溶质运移问题的全离散混合元法研究

本文建立了二维非粘性土壤水中溶质运移问题的混合元格式,讨论了混合元解的存在唯一性,并分析了误差估计.最后给出数值算例,数值模拟结果表明,用该方法模拟溶质运移问题是合理有效的.     

一种变系数扩散问题有限体积格式的高效预条件子

本文针对一类含变跳系数的扩散问题,在矩形网格下构造了一种节点型MACH类有限体积格式.将相应常跳系数辅助扩散问题离散格式的系数矩阵的逆作为其预条件子.利用该系数矩阵的特殊代数结构,通过降维处理技术和快速傅里叶变换等,为预条件子(该矩阵逆)的数学行为设计了一种低运算复杂度(O(Nln(N)))的直接法.数值实验验证了基于该预条件子的PCG算法的高效性和稳健性.     

一类Lagrange坐标系下的ENO有限体积格式

本文首先从积分形式的二维Lagrange流体力学方程组出发,使用ENO高阶插值多项式,推广了四边形结构网格下的一阶有限体积格式,构造得到了一类结构网格下的高精度有限体积格式.该格式针对单介质问题具有良好的计算效果,同时在处理多介质问题时,不会产生物质界面附近强烈的震荡.结合有效的守恒重映方法,用ALE方法进行数值模拟,得到了预期的效果.