自治标量随机微分方程混合欧拉格式的收敛性和稳定性

随机微分方程广泛地出现于经济学、生物学、物理学、电子、无线电通讯等领域,所以研究随机微分方程的解是十分必要的。由于随机微分方程的解析解求解困难,其数值方法的研究越来越引起人们的重视。对于求解随机微分方程的数值方法,衡量其有效性的标准是收敛性和稳定性。本文证明混合欧拉格式用于求解自治标量随机微分方程时,在方程的偏移系数和扩散系数均满足线性增长条件和全局Lipschitz条件时的收敛性,并且求出了局部均值收敛阶和均方强收敛阶。接着讨论了两种试验方程混合欧拉格式的稳定性。     

基于有限积分法的输流直管轴向流固耦合有限积分法数值模拟

针对弹性输流直管轴向耦合振动四方程模型,应用有限积分法分别配合隐式欧拉法和拉普拉斯数值反演法建立两种不同的数值模式,研究瞬时关阀时输流直管轴向耦合振动响应特性。采用径向基函数和多项式基函数组成的混合函数通过节点构造有限积分法的插值函数,将函数积分结果转换为节点函数值的线性累加,简单易行且稳定性好。将所提出的数值模式计算结果与前人的研究成果进行对比,吻合良好,表明有限积分法在处理间断波问题时具有较高的鲁棒性和稳定性,可精确地捕捉到水锤压力的非线性变化过程,但在时间项处理上,拉普拉斯数值反演法在间断处存在一定的数值振荡,隐式欧拉法并未出现,可见在水击问题上有限积分法配合隐式欧拉法的精度更高、稳定性更好。研究结果表明:在考虑泊松和连接耦合共同作用时,管道压力水头波动与经典水锤相比,相位出现延迟,与只有泊松耦合相比,由于管道的振动叠加了与液体产生的强迫振动,压力脉动明显加剧。     

二维半线性伪抛物方程差分格式及数值模拟

本文讨论了一类具有较强应用背景的二维半线性伪抛物方程,设计了求解此类方程对应的初边值问题的隐式差分格式。基于离散泛函理论和先验估计证明了相应差分格式解的存在唯一性、收敛性和稳定性。最后针对实例给出了数值模拟结果。     

Black-Scholes方程的条件Lie-Bcklund对称和不变子空间

偏微分方程的精确解蕴含了方程丰富的信息,对于描述各种现象的发展规律起着至关重要的作用.因此偏微分方程的精确解成为了数学、物理、经济等领域研究的热点问题.本文研究了金融数学中最重要的模型之一Black-Scholes方程的广义分离变量解.运用条件Lie-Bcklund对称与不变子空间理论相结合的方法,本文得到了形如欧拉方程的条件Lie-Bcklund对称.该方程允许的条件Lie-Bcklund对称与高阶变系数的常微分方程相对应.同时,我们还得到了该方程允许此特征的所有精确解.     

基于随机市场系数模型的最优投资组合策略

本文将Merton的投资模型拓展到随机市场系数模型。在典型投资问题对应的动态规划中,值函数一般用Bellman方程的粘性解表示。本文通过指数变换把偏微分方程转变成一个半线性的抛物线方程,证明了其值函数连续解的存在性,并在此基础上给出了企业的最优投资组合策略。     

部分可观测带跳倒向随机系统的非零和微分博弈及其应用

微分博弈是研究两个或多个局中人的控制作用同时施加于一个由微分方程描述的动态系统时实现各自最优目标的博弈过程的理论，因其有趣的数学性质和经济领域的应用价值得到了广泛的关注。研究了一类部分可观测带跳倒向随机系统的非零和微分博弈问题，其中博弈系统涉及跳过程，且每个参与者拥有不同的观测方程。对于这种部分可观测的随机微分博弈问题，在控制域为凸的条件下，采用凸变分和对偶技术，建立了博弈纳什均衡点的最大值原理；在适当的凹凸性假设下，证明了必要性最优条件也是充分性最优条件，得到了验证定理。应用上述最大值原理，研究了部分可观测带跳倒向随机系统的线性二次(Linear Quadratic, LQ)博弈问题，得到了LQ博弈问题的唯一最优控制，其中状态方程和伴随方程构成了一类带跳的正倒向随机微分方程。由于LQ模型通常被用于描述许多金融和经济现象，期望上述的部分可观测带跳倒向随机系统的LQ博弈结果能在这些领域得到广泛应用。     

修正的Cahn-Hilliard方程的大时间步长方法

过去的几十年中,Cahn-Hilliard方程引起了很多学者的关注.该方程最早被用来描述在温度降低时两种均匀的混合物所发生的相分离现象.随着理论的深入研究,该方程在其他方面也有广泛的应用.修正的Cahn-Hilliard方程是一个四阶非线性抛物方程,再加上该方程的小参数问题,使得该方程在求精确解时,具有一定的难度,只能利用数值方法在较小的时间步长上求解数值解,若在较大的时间步长上进行求解会造成数值解的发散.本文提出了求解修正的Cahn-Hilliard方程的大时间步长方法.所提格式在空间上采用有限元方法离散,在时间上采用一阶半隐格式进行离散,证明了一阶半离散格式的稳定性及全离散格式的误差估计.最终通过数值算例来验证理论分析的准确性及有效性.     

一个新的带误差项的记忆梯度算法

对无约束规划问题,本文提出了结合Armijo步长搜索规则的一类带误差项的记忆梯度求解算法,并在目标函数的梯度一致连续的条件下,证明了算法的全局收敛性。同时给出带误差项的结合拟-Newton方程的记忆梯度算法。数值例子表明算法是有效的。     

费用结构一般化的"跳-停"奇异型随机控制

本文针对费用结构由一般性函数构成的情况,对一类带停时的奇异型折扣随机控制问题进行了研究.通过构造并对变分方程的深入分析,采用随机分析的方法证明了其最佳控制的存在性;在某些条件下,得到"跳-停"策略是其最优控制策略;给出了"跳-停"策略存在的条件、最优费用函数、最佳控制的解析式及控制方法.     

Hilbert空间中由Rosenblatt过程驱动的带有限延迟的随机发展方程

Rosenblatt过程作为一个重要的自相似随机过程,常被用来刻画非高斯随机现象．为进一步研究Rosenblatt过程 对随机现象的刻画,本文考虑由Rosenblatt过程驱动的带有限延迟的一类时间相依随机发展方程适度解的问题．在实值 可分Hilbert空间中,运用Banach不动点定理得到了Rosenblatt过程驱动的带有限延迟的随机发展方程适应解 的存在性和唯一性,并通过例子说明所得结果是有效的．     

Brinkman-Forchheimer方程的加罚有限元方法

Brinkman-Forchheimer方程(BF方程)是具有强非线性项并满足无散度条件的流动控制方程,其中无散度条件的精确满足对控制方程的数值求解极其重要.为了放松无散度条件的限制,本文采用了加罚方法.为了得到加罚问题解的适定性,首先,利用加罚关系将压力项消去,证明了速度所满足的具有单调性的非线性椭圆变分问题等价于对应能量泛函的极小化问题,从而得到了速度的存在唯一性.进一步,利用LBB条件证明了BF方程加罚问题压力的存在唯一性.其次,证明了BF方程加罚问题的Galerkin变分问题的解关于加罚参数收敛到BF方程的Galerkin变分问题的解.最后,给出了BF方程加罚问题Galerkin变分问题的有限维逼近问题及其解的存在唯一性,并且得出了采用协调有限元离散的误差估计.数值算例表明加罚方法是有效的.     

不允许卖空限制下保险公司的资产负债管理

本文将均值-方差投资策略选择问题拓展为不允许卖空限制下保险公司的动态资产负债管理问题.首先运用复合Poisson过程刻画保险公司的负债,建立了保险公司的资产负债模型,并利用动态规划原理和识别定理得到了资产负债管理问题的值函数所满足的积-微分方程.然后借助Riccati方程构造了一个下半连续函数,并利用粘性解理论证明了其为积-微分方程的粘性上解.最后以闭式形式给出了保险公司的最优投资策略和有效边界,并用数值例子说明了投资策略、保费以及理赔额之间的关系.     

求解Klein-Gordon-Zakharov方程的一个线性化差分格式(英文)

本文针对Klein-Gordon-Zakharov方程运用Crank-Nicolson格式和蛙跳格式的构造方法分别对线性项和非线性项进行离散,得到一个新的半显式有限差分格式.该格式在实际计算中是线性化解耦的,即在具体计算中的每一时间步,只需求解两个独立的三对角线性代数方程组,从而可以大幅提高计算效率.由于难以得到数值解的最大模先验估计,本文引入数学归纳方法并利标准的能量方法和不动点定理得到了数值解的存在唯一性,并证明了格式在时间和空间两个方向的二阶收敛性.数值结果验证了格式的精度和稳定性.     

纳米管道中离子分布模型的研究

基于纳米管道内离子浓度与电势变化的规律,针对泊松-玻尔兹曼模型的几种改进方法进行比较说明,并提出使用的限制条件.通过对理论的研究分析,泊松-玻尔兹曼的分析解很难获得,而仿真的数值解却容易求得,这个结论更有利于进一步的理论研究.     

一类二阶半线性系统周期解的存在性

本文研究一类二阶半线性微分方程周期解的存在性.关于这一课题的研究,传统方法的困难在于需要做大量细致的估计.我们利用偏微分方程粘性解理论的方法和经典的上、下解方法,结合Leray-Schauder不动点原理,在较弱的条件下证明了该系统周期解的存在性,这一结论改进并概括了以往关于绳索力学方程及近年来关于该系统的一些重要结果.     

一种基于压力泊松方程的流体结构紧耦合算法

从流固耦合系统的整体控制方程出发,推导出与流体控制方程一致的耦合等价方程,并得到基于耦合方程的压力泊松方程,通过求解耦合系统压力泊松方程和一致的等价方程就能获得耦合系统的解,而不需要直接求解整体耦合系统的控制方程,有利于降低求解自由度。预估-校正多步迭代格式用于耦合系统的时间推进,克服了传统迭代耦合方法由于时间不同步而产生较大数值误差的不足。应用该方法对附带局部突起的主动脉弓动脉瘤进行流固耦合分析,验证数值方法的可行性。     

一种半隐式的气动弹性时域求解方法

针对结构小幅运动、流动强非线性的气动弹性问题,基于Adams 隐式方法发展了一种半隐式的线性多步法(SILMS)。将隐式的广义气动力项采用显式插值求解,结构项仍采用隐式格式计算,该方法融合了显式方法耦合简单和隐式方法稳定性好的特点。结构运动采用模态坐标描述,流动方程应用计算流体力学(CFD)技术求解,二者采用松耦合方法进行时域推进。算例计算了一个标准气动弹性模型(Isogai wing)的颤振结果,并与几种经典的时域模拟方法进行了比较,证明该方法具有效率高、稳定性好、精度高的优点。     

在部分信息下带通胀的最优交易策略

由于金融市场的复杂性和信息的不完全性,我们有必要考虑不完全信息的金融市场,同时在市场的投资者决策中通胀因也成决策的一个重要因素,因此,本文将探讨在部分信息下带有通胀影响的最优投资策略问题．首先,利用随机微分方程理论建立股票价格的动力学方程,使用伊藤公式推导出消费篮子价格动力学方程,并用其折现股票价格得到更加符合实际市场的股票价格动力学方程．其次,利用非线性滤波理论和鞅技术将部分信息下问题的研究转化成完全信息下的情形．最后在效用最大化的前提下,使用隐马尔科夫滤波和Malliavin分析,求解出最优投资组合的显式解,并对特别情形进行数值模拟和经济分析．数值分析表明,通胀的不确定对投资者的最优决策将会有较大影响．     

泊松白噪声激励下斜拉索的面内随机振动

目前针对斜拉索非线性随机振动的研究已广泛开展,但仅限于高斯随机激励情形。然而,现实中大部分的随机扰动都是非高斯的。若使用高斯激励模型将产生较大误差。假设拉索所受非高斯激励为泊松白噪声,研究了泊松白噪声激励下斜拉索面内随机振动。推导了受泊松白噪声激励的斜拉索面内振动的随机微分方程,建立了支配系统平稳响应概率密度函数的广义FPK方程。提出迭代加权残值法求解了四阶广义FPK方程,得到了系统响应概率密度函数的近似稳态闭合解。考察了垂跨比、阻尼系数以及脉冲到达率对拉索面内随机振动响应的影响。结果表明:拉索的响应随着垂跨比的增大,响应呈现不对称现象愈加明显;随阻尼比增加,系统响应得到显著抑制;当脉冲到达率增大,拉索的响应也随之增大,并逐渐接近于高斯白噪声激励的情形。另外,获得的理论结果与蒙特卡罗模拟的结果吻合地非常好。     

考虑附加质量的旋转柔性梁的随机动力学分析EI北大核心CSCD

研究了带有附加质量的旋转柔性梁系统在参数具有随机性时的动力响应问题。基于假设模态法和Lagrange方程建立了带有附加质量的柔性悬臂梁系统的一次近似耦合随机动力学方程,利用混沌多项式结合高效回归法将其转化为完全隐式纯微分方程,求解方程得到柔性悬臂梁变形响应的数字特征。最后,通过数值仿真对物理参数和几何参数具有随机性的系统进行动力特性研究。仿真结果表明:利用随机参数的动力学模型能客观地反映出系统的动力学行为;部分随机参数的分散性对柔性体动力响应的影响不可忽视。