基于几何约束的三次代数曲线插值

尽管三次参数曲线在曲线曲面造型中扮演着主要角色,但是计算几何专家也一直没有放弃对三次代数曲线的性质及应用进行研究。该文首先综述了近年来有关三次代数曲线研究的最新进展,对各主要方法的优缺点进行了客观的评价。然后提出了一种基于几何约束的三次代数曲线的插值方法,该方法守完全通过几何量如控制顶点、切线和曲率来控制三次代数曲线的形状,使得对三次代数曲线的编辑与对三次B－样条曲线的编辑一样灵活方便。该文提出的代数曲线的结构有两种,一种是插值平面上四点及两端点切线的三次代数曲线;另一种是插值两端点、两切线及两曲率的三次代数曲线。在第二种情况下对曲率的情况进行了详细的分类。并且从理论上对曲线的连续性及保凸性进行了严格的证明。     

三次Hermite插值曲线的能量优化

在给定插值点的位置矢量及切矢量的情况下,通过在两相邻节点引入两个新的节点,提出了一类保持[C1]连续的三次Hermite插值曲线的构造方法,分别通过基于曲率、挠率的能量函数对其进行优化,给出了能量最小化的参数取值公式。讨论了参数对曲线形状的影响,实例表明了方法的有效性。     

给定两端点及端点处切方向和曲率的空间Bezier曲线的插值问题

§１．问题的提出 曲线插值问题是 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ中一类基本而广泛的问题．实际中可能要求曲线不仅插值于某些点,而且要插值于某些点处的切方向乃至曲率信息．例如高架路立交桥以及山区铁路的设计中曲线段的光滑拼接,就会遇到这样的问题．古典的Ｃ个Ｈｅｒｍｉｔｅ插值问题的解是唯一的,它由一段２ｋ－１次参数曲线构成,而实际问题中几何连续的要求将更为普遍,从而导出了一类称之为 ＧＨＩ（Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ）的问题,即要求插值于给定的…     

二次双曲Bézier曲线曲面

为了简化构造组合曲线时,相邻曲线的控制顶点间应满足的光滑拼接条件,构造了一种结构类似于二次Bézier曲线的含参数的双曲型曲线,称之为H-Bézier曲线。该曲线具有Bézier曲线的许多基本性质,如凸包性、对称性、几何不变性、端点插值和端边相切性。另外,该曲线具备形状可调性,可以精确表示双曲线。此外,若取特殊的参数,则当相邻H-Bézier曲线的控制顶点间满足普通Bézier曲线的G1光滑拼接条件时,曲线在公共连接点处可以达到G3光滑拼接。另外,给出了构造与给定多边形相切的H-Bézier曲线的方法,该方法简单有效,而且整条曲线对给定的切线多边形是保形的。运用张量积方法,将H-Bézier曲线推广后得到的曲面同样具有很多良好的性质。     

带有给定切线多边形的C~2连续的C-B样条曲线

描述了一种与给定切线多边形相切的 C- B样条曲线的算法 .在算法中 ,所有的 C- B样条曲线的控制点可以通过对切线多边形的顶点简单计算产生 .所构造的曲线对切线多边形具有保形性 ,曲线可以局部修改 .最后给出了三个算例 .     

满足数据点切向约束的二次B样条插值曲线

给出一种二次B样条曲线插值方法.利用数据点的参数化和节点向量的自由度,构造在各数据点满足切向约束的二次B样条插值曲线,直观地控制插值曲线达到预期形状.用文中方法构造插值曲线是一个递推过程,不必预先确定数据点参数值和节点向量、不必解线性方程组,而是在插值过程中根据数据点及其切向的约束条件递推地确定数据点的参数值、节点和控制顶点.该文方法允许插值曲线各段的连接点与数据点不一致,以使得二次B样条插值曲线的形状更自然.而且在满足数据点切向约束的条件下,还可利用节点进一步调控插值曲线的形状.另外,用文中方法构造的二次B样条插值曲线对于数据点的改变具有较好的局部性质.文中最后给出一些例子将该文方法与其它一些插值方法进行比较,实验结果表明,该文方法是有效的.     

用射影变换生成形状不变的曲线和曲面

本文利用射影变换,由已知函数类型的三维空间曲线产生新曲线,它满足给定的插值条件,且在一定的条件下保持原曲线关于尖点、重点、泛拐点和曲率为零的点的性质.还讨论了曲面在一定的射影变换下具有形状(即椭圆点、双曲点和抛物点)的不变性.     

形状插值的G1 Hermite曲线

提出了在给定2个端点及其切矢方向的条件下生成一条形状较好的三次Hermite曲线的方法.把未知的形状最好曲线的端点切矢模长看作端点条件的函数;然后建立该函数应当满足的条件,并根据工程制图人员在一些特殊的端点条件下的绘图得到一些经验数据;最后把该函数近似用三角函数的二次以下谐波分解表示,根据已有的经验数据和建立的条件得到谐波分量的大小.目标曲线的计算简单,在经验数据的情况下,目标曲线端点切矢模长范围为(0.5,2.9).与已有方法相比,曲线形状较好.     

曲率连续的有理二次样条插值的一种优化方法

人们通常用有理三次曲线样条来构造整体曲率连续的曲线.提出利用有理二次样条曲线插值整体曲率连续的曲线的一种方法.首先导出了两相邻二次曲线段间曲率连续的拼接条件,然后提出了求解平面上一个闭的点列中每一点处的切线的最优算法.最后给出了闭曲线插值的一些实例以检验方法的有效性.     

基于双参数的几何细分法

提出一种基于两个参数的几何细分方法。首先,借助于标准型的二次有理Bézier 曲 线公式,以相邻的两个初始控制点及其切向量所在直线的交点作为该二次有理Bézier 曲线的控制 顶点;同时,选取分点参数值t  0.5,并以该曲线的权因子作为控制顶点的参数λ,计算新增控 制顶点。其次,定义每个顶点的临时切向量,以每点及其相邻两点确定该点的圆切向;引入切向 量的控制参数,从而确定该顶点新切向量的计算公式。然后,从理论上证明了该方法的保凸性 与收敛性。取定切向量参数=0,重新定义每步的权因子参数λ,其极限曲线是C1连续的分段二 次有理Bézier 曲线;令=1,在每一步骤中采用不同的权因子参数λ 求新增点,具有保圆性。最 后,通过一些实例说明了该方法的有效性。     

开圆弧样条的保形插值算法

提出一种G1圆弧样条插值算法.该算法选取部分满足条件的型值点构造初始圆,然后过剩下的型值点分别构造相邻初始圆的公切圆.在此过程中,让所有型值点均为相应圆弧的内点,且每段圆弧尽量通过2个型值点.在型值点列满足较弱的条件下,曲线具有在事先给定首末切向的情况下圆弧总段数比型值点个数少且保形的特点.     

一种修改NURBS曲线形状的新方法

曲线曲面的形状修改是计算机几何造型过程中的重要部分．文章提出了一种修改NURBS曲线的新方法，使得修改后的曲线在多个参数点处满足用户给定的几何约束(如点约束、切矢约束)，首先引入了一些新的概念如：局部曲线、总曲线、多余约束和多余曲线等．对于每个参数点分别计算出一系列满足该点处几何约束的局部曲线，并由此构造了总曲线．接着插值一条满足多余约束的多余曲线．最后运用构造Coons曲面的思想，计算出最终的修改曲线，它等于总曲线减去多余曲线．同时我们发现两种现存的修改NURBS曲线的方法是一样的．实例表明此方法适用于CAD软件系统。     

Interpolating G Bézier surfaces over irregular curve networks for ship hull design

We propose a local method of constructing piecewise G¹ Bézier patches to span an irregular curve network, without modifying the given curves at odd- and 4-valent node points. Topologically irregular regions of the network are approximated by implicit surfaces, which are used to generate split curves, which subdivide the regions into triangular and/or rectangular sub-regions. The subdivided regions are then interpolated with Bézier patches. We analyze various singular cases of the G¹ condition that is to be met by the interpolation and propose a new G¹ continuity condition using linear and quartic scalar weight functions. Using this condition, a curve network can be interpolated without modification at 4-valent nodes with two collinear tangent vectors, even in the presence of singularities. We demonstrate our approach in a ship hull.     

带有给定切线多边形的C-Bézier闭曲线和B-型样条闭曲线

§1.引 言 Bézier曲线和B样条曲线已广泛应用到汽车、航空、造船等许多领域中.Hering讨论了与凸多边形每边相切的分段三(四)次 Bézier闭曲线和三(四)次B样条闭曲线.它的所有Bézier点必须通过求解大型方程组得到,计算量大,且曲线易出现拐点,而B样条闭曲线的控制点要通过反算得到[1].方逵改进了Hering的方法,构造了G2连续的分段三次曲线[2],基本上克服了Hering方法的两个缺点,但局部修改仍然是比较复杂的.方逵等再次研究了与任意多边形相切的分段四次和五次Bézier曲线[3],但五次Béier曲线不能作局部修改.本文的第二节研究了与任意多边形相切的分段C-Bézier曲线,该曲线C1连续的,且对切线多边形具有保形性,每段C-Bézier曲线上的控制点由切线多边形的顶点计算     

带有给定切线多边形的曲率连续的有理二次样条曲线

本文论述了与给定切线多边形相切的有理二次Bézier曲线，构造曲线是曲率连续的，具有局部可调性，且对切线多边形是保形的；跟三次（四次）Bézier曲线或B样条曲线方法相比，具有切点的变动范围更大、曲线次数低、结构简单、计算量少、显示更快的特点。最后，通过实例加以说明。     

Generating planar spiral by geometry driven subdivision scheme

Spirals are curves with one-signed, monotone increasing or decreasing curvature. They are commonly useful in a variety of applications, either for aesthetic or for engineering requirements. In this paper we propose a new iterative subdivision scheme for generating planar spiral segments from two points and their tangent vectors. The subdivision process consists of two main steps, computing new points and adjusting tangent vectors adaptively for each iteration. We categorize this iterative scheme as geometry...     

Least eccentric ellipses for geometric Hermite interpolation

We present a rational Bézier solution to the geometric Hermite interpolation problem. Given two points and respective unit tangent vectors, we provide an interpolant that can reproduce a circle if possible. When the tangents permit an ellipse, we produce one that deviates least from a circle. We cast the problem as a theorem and provide its proof, and a method for determining the weights of the control points of a rational curve. Our approach targets ellipses, but we also present a cubic interpolant that can find curves with inflection points and space curves when an ellipse cannot satisfy the tangent constraints.     

三次Hermite插值曲线的细化优化

在给定端点及其切矢方向的条件下,通过在相邻两节点之间插入一个中间节点,研究三次Hermite插值曲线的优化问题．如果以与曲率有关的二阶导数为目标,证明插入节点与不插入节点的情形是一样的,体现三次Hermite插值曲线的一种特性．如果以与挠率有关的三阶导数为目标,给出优化三次Hermite曲线的计算公式,从而提出一种新的曲线构造方法．实例表明了方法的有效性．     

Hermite interpolation by triangular cubic patches with small Willmore energy

In this paper, a construction of a cubic Bézier spline surface that interpolates prescribed spatial points and the corresponding normal directions of tangent planes is proposed. Boundary curves of each triangular patch minimize the approximated strain energy. A comparison of optimal boundary curves is given. The interpolant minimizes Willmore energy functional. Some numerical examples and applications of the interpolation scheme are presented: surface approximation, hole filling and condensation of parameters.