基于全正基的非均匀三次加权B样条

目的 对B样条的改进方法大多从增加局部参数和在三角函数空间定义基两个角度出发,但仍存在缺陷,原因是通过模型的控制顶点对曲线进行编辑和处理,存在控制顶点给定时曲线较为固定的不足。为此,本文构造了一类基于全正基的非均匀三次加权λαβ-B样条基。方法 结合加权思想,首先证明三次有理基在相应空间上的全正性;其次对三次三角基和三次有理基同时进行扩展,得到新的λαβ-B样条基,新扩展基具有和经典B样条基相似的性质;最后对新扩展基进行线性组合,用得到的多项式构造非均匀三次加权λαβ-B样条基,并研究了曲线的定义及性质。结果 实验结果表明,新曲线保留传统B样条曲线基本性质的同时,还具有局部调整性,可以改善只通过调整控制顶点改变曲线形状的不足。结论 构造的新λαβ-B样条曲线可以有效克服传统方法在改进时的不足,适合曲线设计。     

带一个形状参数的3次三角多项式曲线曲面

为了使扩展的3次均匀B样条曲线在具备形状可调性、高阶连续性、精确表示椭圆等性质的同时还具有变差缩减性,构造了一种基于三角全正基的分段组合曲线.首先用已证明具有最优规范全正性的3次T-Bézier基的线性组合来表示欲构造的扩展基,根据预设的曲线性质反推扩展基的性质,进而求出其表达式;然后将扩展基表示成3次T-Bézier基与一个转换矩阵的乘积,证明转换矩阵的全正性,进而说明了扩展基的全正性;最后由扩展基定义含一个形状参数的分段组合曲线曲面,分析其连续性,分别给出了曲线、曲面表示椭圆、椭球面的条件和方法.实例结果表明,扩展基的全正性保证了曲线的变差缩减性,形状参数的融入为曲线曲面提供了形状调整的工具,曲线曲面具有C3连续性,取特殊参数时可达5C连续.     

带两个参数的三角多项式曲线曲面构造

目的 为了使扩展的曲线曲面保留传统Bézier方法以及B样条方法良好性质的同时,具备保形性、形状可调性、高阶连续性以及广泛的应用性,本文在拟扩展切比雪夫空间利用开花的性质构造了一组最优规范全正基,并利用该基进行曲线曲面构造。方法 首先构造一组最优规范全正基,并给出该基生成的拟三次TC-Bézier曲线的割角算法;接着利用最优规范全正基的线性组合构造拟三次均匀TC-B样条基,根据曲线的性质假设拟三次均匀B样条基函数具有规范性和C²连续性,进而得到其表达式;然后证明拟三次均匀TC-B样条基具有全正性和高阶连续性;最后定义拟三次均匀TC-B样条曲线曲面,并证明曲线曲面的性质,给出曲线表示整圆和旋转曲面的表示方法,设计出球面和旋转曲面的直接生成方法。结果 实验表明,本文在拟扩展切比雪夫空间构造的具有全正性曲线曲面,不仅能够灵活地进行形状调整,而且具有高阶连续性、保形性。结论 本文在三角函数空间利用两个形状参数进行曲线曲面构造,大量的分析以及案例说明本文构造的曲线曲面不仅保留了传统的Bézier方法以及B样条方法的良好性质,而且具备保形性、形状可调性、高阶连续性以及广泛的应用性,适合用于曲线曲面设计。     

基于全正基的三次均匀B 样条曲线的扩展

为了构造具有保形性的三次均匀B 样条扩展曲线,首先运用拟扩展切比雪夫空间的理论框架证明现有文献中的三次Bézier 曲线的扩展基,简称λ-Bézier 基,恰为相应空间的规范B 基。然后用λ -Bézier 基的线性组合来表示三次均匀B 样条曲线的扩展基,根据预设的曲线性质反推扩展基的性质,进而求出线性组合的系数。扩展基可表示成λ-Bézier 基与一个转换矩阵的乘积,证明了转换矩阵的全正性及扩展基的全正性。由扩展基定义了基于3 点分段的曲线,分析了曲线的性质,扩展基的全正性决定了曲线可以较好的模拟控制多边形的形态。简要介绍了由扩展基定义的基于16 点分片的曲面。     

带两个参数的非均匀三次三角B样条曲线

为了使构造的三次三角非均匀 B-样条曲线在具备形状可调性、高阶连续性、精确 表示椭圆等性质的同时还具有变差缩减性,构造了一类具有全正性的带 2 个参数的非均匀三次 三角 B-样条基函数,进而进行曲线构造。首先假设待构造的非均匀三次三角 B-样条基在每一个 节点处具有 C2连续且具有单位性,进而确定基函数的表达式;然后给出了基函数具有全正性等 重要性质;最后给出了非均匀三次三角 B-样条曲线的定义,并证明了其具有变差缩减性等重要 性质,还证明了曲线在取特殊参数值时具有 C(2n–1)阶连续。实例表明,本文构造的曲线有效解 决了传统方法存在的问题,适合于几何设计。     

带形状控制的自由曲线曲面参数样条

目的 样条曲线曲面的构造是工程制图中的一个重要部分。针对双曲抛物面上参数样条曲线的构造,在已有的研究基础上提出了一种样条方法使曲线曲面可以任意地逼近一个多边形或者一个网格。方法 在标准四面体内构造一个双曲抛物面,在该曲面上以基函数参数化的方法定义一种带形状参数的参数样条曲线曲面,样条基函数通过将双曲抛物面的有理参数化进行限定,生成单参数有理样条基函数。详细研究了样条的保形性及其端点性质。结果 样条曲线具有一个可变的形状控制因子,可以对曲线进行调整,能以任意精度逼近这个控制四边形或网格。对空间节点列,利用该样条可以生成G²-连续空间曲线,同样对于空间网格可以构造G²-连续的拟合曲面,它所对应的基函数可以是有理形式。结论 实验结果表明,本文在笔者已有的研究基础上提出的参数样条曲线可以通过重心坐标系变换适应为任意的四边形,除了空间四面体内的样条曲线,四面体退化成四边形同样可实现。     

集多种特性的三次三角伪B样条

目的 为了同时解决传统多项式B样条曲线在形状调控、精确表示常见工程曲线以及构造插值曲线时的不足,提出了一类集多种特性的三次三角伪B样条。方法 首先构造了一组带两个参数的三次三角伪B样条基函数,然后在此基础上定义了相应的参数伪B样条曲线,并讨论了该曲线的特性及光顺性问题,最后研究了相应的代数伪B样条,并给出了最优代数伪B样条的确定方法。结果 参数伪B样条曲线不仅满足C²连续,而且无需求解方程系统即可自动插值于给定的型值点。当型值点保持不变时,插值曲线的形状还可通过自带的两个参数进行调控。在适当条件下,该参数伪B样条曲线可精确表示圆弧、椭圆弧、星形线等常见的工程曲线。相应的代数伪B样条具有参数伪B样条曲线类似的性质,利用最优代数伪B样条可获得满意的插值效果。结论 所提出的伪B样条同时解决了传统多项式B样条曲线在形状调控、精确表示常见工程曲线以及构造插值曲线时的不足,是一种实用的曲线造型方法。     

拥有指数参数的新三角基

目的 为了使构造的曲线拥有传统Bézier曲线的良好性质,同时还具备形状可调性、逼近性、保形性以及实用性。方法 首先在拟扩展切比雪夫空间的框架下,构造了一类具有全正性的拟三次三角Bernstein基函数,并给出了该基函数的性质;基于此基函数,构造了相应的拟三次三角Bézier曲线,分析了其曲线的性质,得到了生成曲线的割角算法以及C¹,C²光滑拼接条件,同时还提出了一种估计曲线逼近控制多边形程度的三角Bernstein算子;接着在拟三次三角Bernstein基函数的基础上提出一种三角域上带3个指数参数的拟三次三角Bernstein-Bézier基,基于此基生成了一种三角域上的拟三次三角Bernstein-Bézier曲面,该曲面可以构建边界为椭圆弧、抛物线弧以及圆弧的曲面,此外,还提出一种实用的de-Casteljau-type算法,同时还给出了连接两个曲面的G¹连续条件。结果 实验表明,本文在拟扩展切比雪夫空间中构造的具有全正性的曲线曲面,能够灵活地进行形状调整,而且具有良好的逼近性以及适用性。结论 本文在拟扩展切比雪夫空间的框架下构造了一类具有全正性的基函数,并以此基函数进行曲线曲面构造。实验表明本文构造的曲线具备传统三次Bézier曲线的所有优良性质,而且具有灵活的形状可调性。随着参数的增大,所生成的曲线能够更加逼近控制多边形,模拟控制多边形的行为。此外,本文在三角域上构造的曲面能够生成边界为椭圆弧的曲面。综上,本文提出的基函数满足几何工业的需要,是一种实用的方法。     

形状可调插值曲线曲面的参数选择

目的 因大多数插值基函数中的参数都是全局参数,从而导致插值曲线曲面的形状无法进行局部调整。另外,当插值曲线曲面形状可调时,也存在如何选择参数才能获得形状较为理想的曲线曲面的问题,为此给出一种无需反求控制顶点、包含局部形状调整参数、具有显式表达式、能重构部分二次曲线曲面的插值曲线曲面构造方法,同时给出易于使用的形状参数确定方案。方法 基于经典3次Hermite插值曲线的Bernstein基函数表达形式,将其中的Bernstein基换成已证明具有全正性的一组三角基函数,根据三角基的端点性质调整曲线表达式以保证其插值性,然后设定插值数据点处的导向量,在其中引入参数,并保证相邻曲线段之间的连续性,得到了一种新的三角基插值曲线。结果 新曲线可以整理成以待插值数据点为控制顶点与一组插值基函数的线性组合形式,插值基表达式简单,插值曲线含一组局部形状调整参数,一个参数的改变只影响一条曲线段的形状,相邻曲线段之间G¹连续,曲线可以重构椭圆。根据不同目标给出了3种用于确定曲线中形状参数的准则,每种准则都提供了可以直接使用的公式。相应的插值曲面具有与插值曲线类似的性质。结论 形状参数选取准则的给出使含参数插值曲线曲面的设计由随意变为确定,这使得采用本文方法更易于得到满意的结果。本文所给插值基函数的构造方法具有一般性,可以采用相同的思路构造其他函数空间上性质类似的插值基。     

C3连续的单位四元数插值样条曲线

目的 构造一类C³连续的单位四元数插值样条曲线,证明它的插值性和连续性,并把它应用于刚体关键帧动画设计中。方法 利用R³空间中插值样条曲线的5次多项式调配函数的累和形式构造了S³空间中单位四元数插值样条曲线,它不仅能精确通过一系列给定的方向,而且能生成C³连续的朝向曲线。结果 与Nielson的单位四元数均匀B样条插值曲线的迭代构造方法相比,所提方法避免了为获取四元数B样条曲线控制顶点对非线性方程组迭代求解的过程,提高了运算效率;与单位四元数代数三角混合插值样条曲线的构造方法（Su方法）相比,所提方法只用到多项式基,运算速度更快。本例中创建关键帧动画所需的时间与Nielson方法和Su方法相比平均下降了73%和33%。而且,相比前两种方法,所提方法产生的四元数曲线连续性更高,由C²连续提高到C³连续,这意味着动画中刚体的朝向变化更加自然。结论 仿真结果表明,本文方法对刚体关键帧动画设计是有效的,对实时性和流畅性要求高的动画设计场合尤为适用。     

形状可调的5次组合样条及其参数选择

目的 为了克服3次参数B样条在形状调整与局部性方面的不足,提出带参数的5次多项式组合样条。方法 首先构造一组带参数的5次多项式基函数;然后采用与3次B样条曲线相同的组合方式定义带参数的5次多项式组合样条曲线,并讨论基于能量优化法的5次组合样条曲线参数最佳取值问题;最后定义相应的组合样条曲面,并研究利用粒子群算法求解曲面的最佳参数取值。结果 5次组合样条不仅继承了3次B样条的诸多性质,而且还比3次B样条具有更强的局部性及形状可调性。由于5次组合样条仍为多项式模型,因此方程结构相对较为简单,符合实际工程的需要。利用能量优化法可获得光顺的5次组合样条曲线与曲面。结论 所提出5次多项式组合样条克服了3次参数B样条在形状调整与局部性方面的不足,是一种实用的自由曲线曲面造型方法。     

一类加权有理插值样条曲面及局部约束控制

目的 构造一类新的基于函数值与偏导数值的加权有理插值样条曲面,讨论该样条曲面的相关性质并分析曲面的局部约束控制。方法 一方面,先从x方向构造有理三次插值样条,再从y方向构造二元有理插值样条曲面;另一方面,按相反次序构造另一个二元有理插值样条曲面;最后将两种插值曲面加权得到一类新的有理插值样条曲面。结果 讨论插值曲面的性质,包括基函数、边界性质、积分加权系数的性质以及误差估计。通过选择合适的参数和加权系数,在不改变插值数据的前提下实现对插值区域内的局部约束控制。结论 实验结果表明,新的加权有理插值样条曲面具有良好的约束控制性质。     

代数双曲B样条基的几乎严格全正性

样条基的几乎严格全正性和曲线插值适定性关系密切,是几何造型中一个基本且重要的问题.文中证明了代数双曲B样条基具有几乎严格全正性:首先引入代数双曲B样条函数,通过嵌入节点算法推导出函数的零点数和变差数之间的关系;进一步,利用数学归纳法证明了该基具有几乎严格全正性.文中的证明方法直观且具有几何性,为造型中使用代数双曲B样条基奠定了更为完备的理论基础.     

一种 G2 连续组合曲线的表示

针对 Bézier 曲线以及现有众多含形状参数的扩展 Bézier 曲线的 G2 拼接条件均对控制顶点有严 格要求的问题,拟提出一种 G2 连续组合曲线,其能综合 Bézier 与 B 样条方法的优点,其基函数具有显式表达 式,既具有 B 样条方法的自动光滑性,又能轻松拥有 Bézier 曲线的端点几何特征。为此,构造了一组含 6 个 参数的基函数,按照 3 次 Bézier 曲线的定义方式由之构造了基于 4 个控制顶点的曲线段,根据曲线段的拼接条 件,按照 3 次 B 样条曲线的定义方式构造了基于 4 点分段的组合曲线。基函数具有全正性,其同时包含 3 次 Bernstein 基函数和所有由内部节点重复度均为 1 的节点向量所确定的 3 次 B 样条基函数作为特例。曲线段具 有保凸性、端点位置以及形状可调性,其同时包含 3 次 Bézier 曲线和 3 次 B 样条曲线段作为特例。组合曲线 的定义方式自动保证了其整体 G2 连续,将部分参数取特定值,即可使其端点插值、端边相切,此时其中依然 存在用于调整内部形状的独立参数。按一定规则选取组合曲线中的参数,即可重构 C2 连续的 3 次 B 样条曲线。     

均匀B样条基与DP-NTP基之间的转换与应用

B样条基以其标准全正性和局部支柱性的长处,在曲线曲面构造中被广泛应用.而作为其特殊情况的均匀B样条,又因其操作简便等长处,对其的研究在工业造型设计方面也十分有意义.2003年,Delgado和Pe?a提出了另一类用标准全正基(DP-NTP基)构造的新曲线表示形式,这种曲线在求值运算中具有线性时间复杂度的明显优势,同时像B样条曲线那样具有模拟或保持控制多边形形状的保形性质,但没有形状局部可调性.为了使它们实现优势互补,并在不同的造型系统之间进行数据的交换和传递,给出了均匀B样条曲线与DP-NTP曲线的相互转换.实例表明,其结果可在CAD系统中,尤其在曲线曲面需要快速求值或形状局部可调的场合得到相当广泛的应用.     

带参数的同次Ball曲线

目的 虽然Ball曲线具有很好的几何特性,但当控制顶点保持不变时,曲线的形状却无法进行调整,这无疑限制了其在几何造型中的应用。为了使得任意次Ball曲线在控制顶点保持不变的情形下具有形状可调性,提出了一种构造带参数的同次Ball曲线的简单方法。方法 首先通过将传统三次Ball基的定义区间由[0,1]扩展为[0,α],构造了一种带参数α的三次Ball基,并称之为三次α-Ball基;然后基于三次α-Ball基定义了相应的三次α-Ball曲线,并讨论了三次α-Ball曲线的拼接、参数对曲线的影响以及参数的3种选取方案;最后借助传统高次Ball基的递推性构造了任意次α-Ball基及其对应的α-Ball曲线,并给出了任意次α-Ball基与α-Ball曲线的性质。结果 实例表明,所构造的α-Ball曲线是传统Ball曲线的同次扩展,不仅保留了传统Ball曲线的性质,而且还由于带有参数α使得曲线具有更好的表现能力。利用所给出的3种参数选取方案可构造出满足相应要求的α-Ball曲线。结论 所提出的α-Ball曲线克服了传统Ball曲线在形状调整方面的不足,是一种构造形状可调的任意次Ball曲线的有效方法。     

二次均匀B样条曲线的扩展

为便于对均匀B样条曲线进行形状修改,利用二次均匀B样条基函数所需满足的条件,扩展二次均匀B样条基函数,构造出三次多项式调配函数．基于给出的调配函数,建立1种带形状参数的分段多项式曲线．调整形状参数可使三次多项式曲线在二次均匀B样条曲线两侧摆动．最后给出实例,构造出带局部调节参数G^1的连续曲线．该方法可以通过调整参数扩大二次均匀B样条曲线的调整范围．     

3次均匀B样条曲线的保形扩展

为了在不增加计算复杂度的前提下,构造既具有凸包性,又具有保形性的类3次均匀B样条曲线。首先采用逆向思维法,通过预设的曲线性质来反推调配函数的性质,进而计算出调配函数的表达式。然后采用定性分析法,分别讨论当曲线具备凸包性、保单调性、保凸性、变差缩减性时,曲线中参数的取值范围,文中图例显示了分析结果的正确性。不同情况下所得参数取值范围的交集,即为最终确定的曲线中形状参数的可行域,在可行域内改变形状参数,可以在不破坏曲线保形性的前提下调整曲线对控制多边形的逼近程度。简要讨论了与曲线对应的张量积曲面,并给出了图例。     

任意阶参数连续的形状可调过渡曲线

目的 针对现有研究未能给出可以使过渡曲线在端点处与被过渡曲线之间达到C^k（k为任意自然数）连续的多项式势函数统一表达式的问题展开研究,以期用简单有效的方式解决这一问题。方法 从过渡曲线的方程出发,借助莱布尼兹公式得出其k阶导矢表达式,根据预设的连续性目标,反推出可使过渡曲线在端点处达到C^k连续的势函数需满足的基本条件。由这些基本条件中所含条件的数量,以及对势函数、过渡曲线的其他期望所对应的条件个数的总量,确定多项式势函数的次数,将势函数表达成相同次数的Bernstein基函数的线性组合,组合系数待定。由势函数需满足的基本条件、其他预期条件,以及Bernstein基函数在端点处的函数值、导数值等信息,得出关于待定系数的方程组。解该方程组,得出满足所有预期目标,并含一个自由参数的多项式势函数的统一表达式。结果 势函数中存在两个参数k和λ,k用于控制过渡曲线与被过渡曲线在端点处的连续阶,在k取定以后,λ可用于控制过渡曲线与被过渡曲线的贴近程度。势函数具有对称性、中点性、有界性,分析了当k固定时,势函数关于变量t和参数λ的单调性,分析了使势函数图形只存在唯一拐点时,自由参数的取值范围。由该势函数构造的过渡曲线,取一般参数时在端点处可达C^k连续,取特殊参数时可达C^k+1连续。分析了过渡曲线的形状特征,当k取定时,λ的值越大,过渡曲线越贴近被过渡曲线。结论 实验数据验证了理论分析结果的正确性,同时直观显示了所给方法的有效性。     

Bézier曲线的同次扩展及其参数选择

目的 本文旨在构造一种含形状参数的Bézier曲线,要求该曲线定义在代数多项式空间上,其基函数的次数与相同数量控制顶点所需Bernstein基函数的次数相同,对基函数以及相应曲线的计算要尽可能简单,并且要给出常见设计要求下曲线中形状参数的选取方案。方法 以三次Bézier曲线为初始研究对象,依据由可调控制顶点定义可调曲线的思想,在两个内控制顶点中引入参数,与Bernstein基函数作线性组合生成形状可调曲线,再将曲线表达式改写成固定控制顶点与含参数的调配函数的线性组合,从而得出三次Bernstein基函数的含参数扩展基,借助递推公式得出更高次的含参数扩展基,然后观察基函数表达式的规律,给出所有含参数扩展基统一的显示表达式,分析了扩展基的性质,并由之定义含参数的曲线,分析了曲线的性质,给出了曲线的几何作图法以及光滑拼接条件,以曲线拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小为目标,推导了曲线中形状参数的计算公式,再通过曲线图和曲率图对比分析了不同能量目标所得曲线的差异。结果 由于所给含参数的扩展基并未提升Bernstein基函数的次数,且具有统一的显示表达式,因此本文方法在赋予Bézier曲线形状调整能力的同时并未增加计算量,由于提供了可以直接使用的形状参数的计算公式,因此在使用该方法时,符合设计要求的形状参数的确定变得简单,数值实例直观显示了所给曲线造型方法以及曲线中形状参数选取方案的正确性与有效性,体现了本文方法较文献中类似方法的优越之处。结论 所给含参数扩展基的构造方法以及形状参数的选取方法具有一般性,该方法可以推广至构造含形状参数的三角域Bézier曲面。