拥有指数参数的新三角基

目的 为了使构造的曲线拥有传统Bézier曲线的良好性质,同时还具备形状可调性、逼近性、保形性以及实用性。方法 首先在拟扩展切比雪夫空间的框架下,构造了一类具有全正性的拟三次三角Bernstein基函数,并给出了该基函数的性质;基于此基函数,构造了相应的拟三次三角Bézier曲线,分析了其曲线的性质,得到了生成曲线的割角算法以及C¹,C²光滑拼接条件,同时还提出了一种估计曲线逼近控制多边形程度的三角Bernstein算子;接着在拟三次三角Bernstein基函数的基础上提出一种三角域上带3个指数参数的拟三次三角Bernstein-Bézier基,基于此基生成了一种三角域上的拟三次三角Bernstein-Bézier曲面,该曲面可以构建边界为椭圆弧、抛物线弧以及圆弧的曲面,此外,还提出一种实用的de-Casteljau-type算法,同时还给出了连接两个曲面的G¹连续条件。结果 实验表明,本文在拟扩展切比雪夫空间中构造的具有全正性的曲线曲面,能够灵活地进行形状调整,而且具有良好的逼近性以及适用性。结论 本文在拟扩展切比雪夫空间的框架下构造了一类具有全正性的基函数,并以此基函数进行曲线曲面构造。实验表明本文构造的曲线具备传统三次Bézier曲线的所有优良性质,而且具有灵活的形状可调性。随着参数的增大,所生成的曲线能够更加逼近控制多边形,模拟控制多边形的行为。此外,本文在三角域上构造的曲面能够生成边界为椭圆弧的曲面。综上,本文提出的基函数满足几何工业的需要,是一种实用的方法。     

带一个形状参数的3次三角多项式曲线曲面

为了使扩展的3次均匀B样条曲线在具备形状可调性、高阶连续性、精确表示椭圆等性质的同时还具有变差缩减性,构造了一种基于三角全正基的分段组合曲线.首先用已证明具有最优规范全正性的3次T-Bézier基的线性组合来表示欲构造的扩展基,根据预设的曲线性质反推扩展基的性质,进而求出其表达式;然后将扩展基表示成3次T-Bézier基与一个转换矩阵的乘积,证明转换矩阵的全正性,进而说明了扩展基的全正性;最后由扩展基定义含一个形状参数的分段组合曲线曲面,分析其连续性,分别给出了曲线、曲面表示椭圆、椭球面的条件和方法.实例结果表明,扩展基的全正性保证了曲线的变差缩减性,形状参数的融入为曲线曲面提供了形状调整的工具,曲线曲面具有C3连续性,取特殊参数时可达5C连续.     

带局部形状参数的λ-B曲线设计

目的 目前有很多研究B样条曲线的含参数扩展,给出的曲线都具备B样条曲线的局部形状控制性以及独立于控制顶点的形状可调性,但有些文献给出的参数是全局的,导致曲线不具备局部形状调整性,有些文献给出的调配函数不具有全正性,导致曲线不具备变差缩减性、保凸性。本文的出发点是构造同时具备保凸性、局部形状调整性、局部形状控制性的曲线。方法 首先运用拟扩展函数空间的理论框架证明了已有的3次Bézier曲线的扩展基,简称λμ-Bernstein基,恰好为所在空间中的规范B基。然后运用λμ-Bernstein基的线性组合来构造3次均匀B样条曲线的扩展基,根据预设的曲线性质反推出扩展基的性质,进而求出线性组合的系数,得出扩展基的表达式。扩展基可以表示成λμ-Bernstein基与一个转换矩阵的乘积,证明了转换矩阵的全正性,由扩展基定义了一种结构与3次B样条曲线相同的含一个局部形状参数的分段曲线。结果 转换矩阵的全正性决定了扩展基的全正性,扩展基的全正性决定了扩展曲线的变差缩减性、保凸性,形状参数的局部性决定了曲线的局部形状调整性,曲线的分段结构决定了曲线的局部形状控制性。结论 本文给出的构造具有全正性的B样条扩展基的方法具有一般性,与现有众多扩展曲线相比,本文方法构造的曲线因为具有变差缩减性和保凸性,从而为保形设计提供了一种有效方法。     

基于全正基的三次均匀B 样条曲线的扩展

为了构造具有保形性的三次均匀B 样条扩展曲线,首先运用拟扩展切比雪夫空间的理论框架证明现有文献中的三次Bézier 曲线的扩展基,简称λ-Bézier 基,恰为相应空间的规范B 基。然后用λ -Bézier 基的线性组合来表示三次均匀B 样条曲线的扩展基,根据预设的曲线性质反推扩展基的性质,进而求出线性组合的系数。扩展基可表示成λ-Bézier 基与一个转换矩阵的乘积,证明了转换矩阵的全正性及扩展基的全正性。由扩展基定义了基于3 点分段的曲线,分析了曲线的性质,扩展基的全正性决定了曲线可以较好的模拟控制多边形的形态。简要介绍了由扩展基定义的基于16 点分片的曲面。     

C1三次插值样条曲线曲面

利用Bézier曲线的端点插值性质,得到了构造三次插值样条曲线曲面的一种改进的基函数——BB基函数。由BB基函数构造了C¹保形三次插值样条曲线;构造了C¹双三次插值样条曲面。     

对可调控Bézier曲线的改进

目的 在用Bézier曲线表示复杂形状时,相邻曲线的控制顶点间必须满足一定的光滑性条件。一般情况下,对光滑度的要求越高,条件越复杂。通过改进文献中的“可调控Bézier曲线”,以构造具有多种优点的自动光滑分段组合曲线。方法 首先给出了两条位置连续的曲线G^l连续的一个充分条件,进而证明了“可调控Bézier曲线”在普通Bézier曲线的G^l光滑拼接条件下可达G^l(l为曲线中的参数)光滑拼接。然后对“可调控Bézier基”进行改进得到了一组新的基函数,利用该基函数按照Bézier曲线的定义方式构造了一种新曲线。分析了该曲线的光滑拼接条件,并根据该条件定义了一种分段组合曲线。结果 对于新曲线而言,只要前一条曲线的最后一条控制边与后一条曲线的第1条控制边重合,两条曲线便自动光滑连接,并且在连接点处的光滑度可以简单地通过改变参数的值来自由调整。由新曲线按照特殊方式构成的分段组合曲线具有类似于B样条曲线的自动光滑性和局部控制性。不同的是,组合曲线的各条曲线段可以由不同数量的控制顶点定义,选择合适的参数,可以使曲线在各个连接点处达到任何期望的光滑度。另外,改变一个控制顶点,至多只会影响两条曲线段的形状,改变一条曲线段中的参数,只会影响当前曲线段的形状,以及至多两个连接点处的光滑度。结论 本文给出了构造易于拼接的曲线的通用方法,极大简化了曲线的拼接条件。此基础上,提出的一种新的分段组合曲线定义方法,无需对控制顶点附加任何条件,所得曲线自动光滑,且其形状、光滑度可以或整体或局部地进行调整。本文方法具有一般性,为复杂曲线的设计创造了条件。     

基于全正基的非均匀三次加权B样条

目的 对B样条的改进方法大多从增加局部参数和在三角函数空间定义基两个角度出发,但仍存在缺陷,原因是通过模型的控制顶点对曲线进行编辑和处理,存在控制顶点给定时曲线较为固定的不足。为此,本文构造了一类基于全正基的非均匀三次加权λαβ-B样条基。方法 结合加权思想,首先证明三次有理基在相应空间上的全正性;其次对三次三角基和三次有理基同时进行扩展,得到新的λαβ-B样条基,新扩展基具有和经典B样条基相似的性质;最后对新扩展基进行线性组合,用得到的多项式构造非均匀三次加权λαβ-B样条基,并研究了曲线的定义及性质。结果 实验结果表明,新曲线保留传统B样条曲线基本性质的同时,还具有局部调整性,可以改善只通过调整控制顶点改变曲线形状的不足。结论 构造的新λαβ-B样条曲线可以有效克服传统方法在改进时的不足,适合曲线设计。     

3个控制顶点的类三次Bézier螺线

目的 为了使得过渡曲线的设计更为简单高效。提出基于3个控制顶点的类三次Bézier螺线。方法 通过对基函数的研究首先构造了3条在一定条件下曲率单调递减的类三次Bézier曲线,并由参数的对称性得另3条曲率单调递增的曲线。它们具有端点性、凸包性、几何不变性等三次Bézier曲线的基本性质,特点是只有3个控制顶点。接着严格地证明了此类曲线曲率单调的充分条件。 结果 有两条曲线比三次Bézier曲线的曲率单调条件范围大,且类三次Bézier螺线与三次Bézier螺线存在一定的位置关系。这6条曲线中有4条曲线的一个端点处曲率为零,可组合成4对类三次Bézier螺线来构造两圆弧间半径比例不受限制的S型和C型G²连续过渡曲线;剩下的两条曲线在两圆弧半径相差较大的情况下都可做不含曲率极值点的过渡曲线。最后用实例表明了此类曲线的有效性。结论 在过渡曲线设计中基于3个控制顶点的类三次Bézier螺线比三次Bézier螺线更为简单高效。     

Bézier曲线的同次扩展及其参数选择

目的 本文旨在构造一种含形状参数的Bézier曲线,要求该曲线定义在代数多项式空间上,其基函数的次数与相同数量控制顶点所需Bernstein基函数的次数相同,对基函数以及相应曲线的计算要尽可能简单,并且要给出常见设计要求下曲线中形状参数的选取方案。方法 以三次Bézier曲线为初始研究对象,依据由可调控制顶点定义可调曲线的思想,在两个内控制顶点中引入参数,与Bernstein基函数作线性组合生成形状可调曲线,再将曲线表达式改写成固定控制顶点与含参数的调配函数的线性组合,从而得出三次Bernstein基函数的含参数扩展基,借助递推公式得出更高次的含参数扩展基,然后观察基函数表达式的规律,给出所有含参数扩展基统一的显示表达式,分析了扩展基的性质,并由之定义含参数的曲线,分析了曲线的性质,给出了曲线的几何作图法以及光滑拼接条件,以曲线拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小为目标,推导了曲线中形状参数的计算公式,再通过曲线图和曲率图对比分析了不同能量目标所得曲线的差异。结果 由于所给含参数的扩展基并未提升Bernstein基函数的次数,且具有统一的显示表达式,因此本文方法在赋予Bézier曲线形状调整能力的同时并未增加计算量,由于提供了可以直接使用的形状参数的计算公式,因此在使用该方法时,符合设计要求的形状参数的确定变得简单,数值实例直观显示了所给曲线造型方法以及曲线中形状参数选取方案的正确性与有效性,体现了本文方法较文献中类似方法的优越之处。结论 所给含参数扩展基的构造方法以及形状参数的选取方法具有一般性,该方法可以推广至构造含形状参数的三角域Bézier曲面。     

均匀B样条基与DP-NTP基之间的转换与应用

B样条基以其标准全正性和局部支柱性的长处,在曲线曲面构造中被广泛应用.而作为其特殊情况的均匀B样条,又因其操作简便等长处,对其的研究在工业造型设计方面也十分有意义.2003年,Delgado和Pe?a提出了另一类用标准全正基(DP-NTP基)构造的新曲线表示形式,这种曲线在求值运算中具有线性时间复杂度的明显优势,同时像B样条曲线那样具有模拟或保持控制多边形形状的保形性质,但没有形状局部可调性.为了使它们实现优势互补,并在不同的造型系统之间进行数据的交换和传递,给出了均匀B样条曲线与DP-NTP曲线的相互转换.实例表明,其结果可在CAD系统中,尤其在曲线曲面需要快速求值或形状局部可调的场合得到相当广泛的应用.     

带两个参数的非均匀三次三角B样条曲线

为了使构造的三次三角非均匀 B-样条曲线在具备形状可调性、高阶连续性、精确 表示椭圆等性质的同时还具有变差缩减性,构造了一类具有全正性的带 2 个参数的非均匀三次 三角 B-样条基函数,进而进行曲线构造。首先假设待构造的非均匀三次三角 B-样条基在每一个 节点处具有 C2连续且具有单位性,进而确定基函数的表达式;然后给出了基函数具有全正性等 重要性质;最后给出了非均匀三次三角 B-样条曲线的定义,并证明了其具有变差缩减性等重要 性质,还证明了曲线在取特殊参数值时具有 C(2n–1)阶连续。实例表明,本文构造的曲线有效解 决了传统方法存在的问题,适合于几何设计。     

一种 G2 连续组合曲线的表示

针对 Bézier 曲线以及现有众多含形状参数的扩展 Bézier 曲线的 G2 拼接条件均对控制顶点有严 格要求的问题,拟提出一种 G2 连续组合曲线,其能综合 Bézier 与 B 样条方法的优点,其基函数具有显式表达 式,既具有 B 样条方法的自动光滑性,又能轻松拥有 Bézier 曲线的端点几何特征。为此,构造了一组含 6 个 参数的基函数,按照 3 次 Bézier 曲线的定义方式由之构造了基于 4 个控制顶点的曲线段,根据曲线段的拼接条 件,按照 3 次 B 样条曲线的定义方式构造了基于 4 点分段的组合曲线。基函数具有全正性,其同时包含 3 次 Bernstein 基函数和所有由内部节点重复度均为 1 的节点向量所确定的 3 次 B 样条基函数作为特例。曲线段具 有保凸性、端点位置以及形状可调性,其同时包含 3 次 Bézier 曲线和 3 次 B 样条曲线段作为特例。组合曲线 的定义方式自动保证了其整体 G2 连续,将部分参数取特定值,即可使其端点插值、端边相切,此时其中依然 存在用于调整内部形状的独立参数。按一定规则选取组合曲线中的参数,即可重构 C2 连续的 3 次 B 样条曲线。     

基于扩展Bézier曲线拼接的曲线造型新方法

提出了一种基于扩展Bézier曲线拼接的曲线造型新方法。该方法首先构造了一种具有优良形状可调性和更好逼近性的带3个形状参数α, β, γ的三次扩展Bézier曲线(CE-Bézier曲线);并针对CE-Bézier曲线无法精确表示圆弧和椭圆弧等二次曲线的缺点,利用CE-Bézier曲线与C-Bézier曲线间的拼接技术,解决了CE-Bézier曲线造型中圆弧和椭圆弧的表示问题。最后讨论了该方法在曲线曲面设计中的应用。造型实例表明,该方法在计算机辅助几何设计中具有一定的应用价值。     

利用距离与内能极小平滑链接Bézier曲线

目的 对于满足低阶连续的链接Bézier曲线,提高曲线之间的连续性以达到平滑的目的,需要对曲线的控制顶点进行相应调整。因此,可根据具体的目标对需要调整的控制顶点进行优化选取,使得平滑后的链接曲线满足相应的要求。针对这一问题,给出了3种目标下优化调整控制顶点的方法。方法 首先对讨论的问题进行描述,分别指出链接Bézier曲线从C⁰连续平滑为C¹连续和从C¹连续平滑为C²连续两种情形需调整的控制顶点;然后分别给出两种情形下,以新旧控制顶点距离极小为目标、曲线内能极小为目标、新旧控制顶点距离与曲线内能同时极小为目标,对链接Bézier曲线进行平滑的方法,最后对3种极小化方法进行对比,并指出了不同方法的适用场合。结果 数值算例表明,距离极小化方法调整后的控制顶点偏离原控制顶点的距离相对较小,适合于控制顶点取自于实物时的应用场合;内能极小化方法获得的链接曲线内能相对较小,适合于要求曲线能量尽可能小的应用场合;距离与内能同时极小化方法兼顾了新旧控制顶点的距离和链接曲线的内能,适合于对两个目标都有要求的应用场合。结论 提出的方法为链接Bézier曲线的平滑提供了3种有效手段,且易于实现,对其他类型链接曲线的平滑具有参考价值。     

Alternative representation for parametric cubic curves and surfaces

A representation for parametric cubic curves and surfaces is presented which incorporates the polygonal approach popularized by the Bézier and B-spline schemes. Since the curves more closely mimic the polygon than their counterparts employing the Bézier or B-spline schemes, the method is potentially useful for creating and manipulating geometric models. In connection with the logical extension of the approach from curves to surfaces, a discussion of the relationship between continuity and redundant data storage is included.