椭圆曲线密码体制中快速标量乘方法研究

椭圆曲线标量乘是椭圆密码体制中最耗时的运算,其中求逆运算的次数直接决定了标量乘法的性质。转换求逆为乘法运算能够降低求逆次数。根据这个思想,给出在素数域Fp上用仿射坐标直接计算5P的算法,比传统方法节省了两次求逆运算。同时还给出直接计算5kP的算法,比重复计算k次5P更有效。最后结合多基链把这两个新算法应用到标量乘中。实验结果表明,该方法与以往的标量乘算法相比,效率可提高6.5%~14%,相交处I/M可降到1.1。     

GF(2~n)域椭圆曲线密码体制中快速标量乘算法的研究

根据将求逆转换为乘法运算的思想,提出在二进制域Fn2上用仿射坐标直接计算5P+Q的算法,其运算量为2I+7S+13M,比传统算法节省了二次求逆运算。同时还推导出一种新的直接计算3kP的快速算法,比殷新春等人所提的算法节省了4k+10的乘法运算。最后结合MBNS表示方法把这些新算法应用到标量乘法中,实验结果表明,在NIST推荐的椭圆曲线上,新算法比Purohit算法的平均效率大约提高了21.22%,比Mishra算法的平均效率大约提高了3.29%。     

素数域[GF(P)]上椭圆曲线快速标量乘算法的研究

基于求逆转换为乘法的思想,利用仿射坐标提出了直接计算椭圆曲线上[7P]的算法,该算法运算量为I+23M+10S,比现有的算法节省了一次求逆运算,同时也给出了直接计算[7kP]的快速算法,该算法比重复计算[k]次[7P]更有效。结合多基数系统将这些新算法应用到标量乘法中,实验结果表明,在NIST推荐的椭圆曲线上,新算法的效率优于徐凯平等人所提的算法及传统的ternary-binary、3-NAF、Dimitro算法,相交处I/M可降至2.4。     

特征3有限域上的椭圆曲线算法改进

减少求逆运算次数是快速计算椭圆曲线密码的主要方法之一。若采用逐次累加的方法计算特征3有限域上椭圆曲线标量乘法2kP,需要k次求逆运算。本文根据递推归纳、转换求逆为乘法的思想,推导了直接计算2kP的公式,使求逆运算降至1次。从理论上比较了两种计算方法的运算效率:所提出的新算法在k=4时比逐次累加计算量减少1%,并且减少量随着k的增大而增多,在极限情况下可减少约26%。     

椭圆曲线中直接计算7P的方法及其应用

为了提高椭圆曲线标量乘法的效率,根据将求逆转换为乘法运算的思想,提出了在二进制域F2n上用仿射坐标直接计算7P的两种算法。两种算法分别通过引入公因子和除法多项式来计算7P,其运算量分别为2I+7S+14M和I+6S+20M,比Purohit等提出的算法(PUROHIT G N, RAWAT S A, KUMAR M. Elliptic curve point multiplication using MBNR and Point halving. International Journal of Advanced Networking and Applications, 2012, 3(5)： 1329-1337)分别节省了一次和两次求逆运算。同时还给出直接计算7kP的快速算法,该算法比重复计算k次7P更有效。最后结合半点运算和扩展多基表示形式将这些新算法应用到标量乘法中。实验结果表明,在美国国家标准技术研究所(NIST)推荐的椭圆曲线上,当预存储点的个数为2和 5时,新算法比Purohit算法效率提高了30%和37%,比洪银芳等所提的算法(洪银芳,桂丰,丁勇.基于半点和多基表示的标量乘法扩展算法.计算机工程,2011,37(4)：163-165)效率提高了9%和13%。新算法以增加少量的预计算存储为代价,能有效降低标量乘法的运算量。     

基于双基数的快速标量乘算法

标量乘法是整个椭圆曲线密码体制实现的瓶颈,本文在有效表示标量k方面,引用一个新的数域系统--双基数系统,将标量的双基数链长度限制在O(log k/log log k)范围内,减少标量乘法中的上层运算.在底层域快速算法研究方面,推导出直接计算3kP快速算法.最后结合直接计算2kP,2P±Q,3P±Q及3kP快速算法.给出基于双基数的快速标量乘新算法,新算法的效率优于Dimitrov算法及传统标量乘算法.     

椭圆曲线底层域快速算法的研究

为了提高椭圆曲线底层域运算的效率,基于将求逆转换为乘法运算的思想,提出了在素数域[FP]上用仿射坐标直接计算4P和5P的快速算法,其运算量分别为I+7M+8S和I+12M+10S,与Duc-Phong和徐凯平等人所提的算法相比,效率分别提升了4.6%和2.6%。同时在仿射坐标下给出了一种直接计算[5kP]的快速算法,其运算量为[I+(15k+1)M+][(10k-1)S],与徐凯平和Mishra等人所提的算法相比,效率分别提升了5.7%和26.8%。     

利用半点计算椭圆曲线双标量乘法算法

实现椭圆曲线密码体制最主要的运算是椭圆曲线点群上的标量乘法(或点乘)运算。一些基于椭圆曲线的密码协议比如ECDSA签名验证,就需要计算双标量乘法kP+lQ,其中P、Q为椭圆曲线点群上的任意两点。一个高效计算kP+lQ的方法就是同步计算两个标量乘法,而不是分别计算每个标量乘法再相加。通过对域F2m上的椭圆曲线双标量乘法算法进行研究,将半点公式应用于椭圆曲线的双标量乘法中,提出了一种新的同步计算双标量乘法算法,分析了效率,并与传统的基于倍点运算的双标量乘法算法进行了详细的比较,其效率更优。     

基于w-NNAF的快速Edwards曲线标量乘法

在分析利用Edwards曲线上三倍点公式计算3nP(n=1,2,...)的基础上,根据各3"P的坐标具有统一表示形式的特性,提出了一种通过减少求逆运算而快速计算3"P (n=2, 3}..)的新算法I}ripling_Algorithm,并将此算法与标量k的二NNAF表示方法相结合,给出了一种计算标量乘法kP的高效算法ImprovedSM-3-NNAF。通过对ImprovedSM-3-NNAF的计算复杂性与安全性分析表明,利用该算法计算kP不仅是安全的,而且至少可节约20. 78%的计算量,大大改进了Edwards曲线上标量乘法的计算效率。     

一种基于加法链的快速标量乘算法

给出一种标量的串长加法链算法来提高椭圆曲线标量乘法的效率。新的标量乘算法结合底层域直接计算2Q+P、2^nR+S算法,使用大小窗口法将串长算法和滑动窗口算法结合,加法链长度、存储空间和预计算都减少,其效率比二元法提高53%,比NAF法提高47.5%,比串长算法提高46.2%,比Windows法提高42.2%。     

基于折半运算的快速双基数标量乘算法

为了提高椭圆曲线标量乘法效率,对二元域上椭圆曲线的基于双基数的标量乘法进行改进。在底层域推导出直接计算3^kP的快速算法,该算法只需一次求逆;新设计的以1/2和3为基的双基数编码可结合高效的直接计算3^kP和折半运算,基于该双基数编码的标量乘算法只涉及到点加运算、折半运算、三倍点和直接计算3^kP,底层域运算复杂性得到降低,在NIST推荐的椭圆曲线上比Dimitrov算法效率提高70%以上,比Wong方法提高10%以上。     

基于Kummer曲面的RFID标签

理论上使用公钥密码,包括椭圆曲线密码和超椭圆曲线密码来设计RFID标签已经比较成熟了.实验结果表明椭圆曲线密码或者超椭圆曲线密码用于RFID标签设计也很有效.与超椭圆曲线密码相比较,在亏格为2的曲线上使用Kummer曲面来计算标量乘会更快.但是,由于在Kummer曲面上没有简单的点加计算公式,这导致很难使用Kummer曲面来构造密码协议.在本文中,我们把Schnorr的鉴别协议扩展到Kummer曲面上.研究表明该协议可以只使用有限域Fq上的加法和乘法来计算,而且也不降低安全性.进一步地,我们用该协议来设计RFID标签.结果表明该协议在Kummer曲面上非常有效并很容易用于RFID标签设计中.在本文中,我们选取的是可转换为超椭圆曲线y^2+xy=x^5+f3x^3+εx^2+f0的Kummer曲面,其中ε∈{0,1}.我们方案的性能比其它使用公钥密码来设计RFID标签的方案都有效.     

GF（3^m）椭圆曲线群快速算术运算研究

详细研究了GF(3m)上椭圆曲线基本算术运算,给出并证明GF(3m)上超奇异和非超奇异椭圆曲线仿射坐标系下点加、倍点、3倍点和3k倍点计算公式.提出高效3k倍点递归算法,在逆乘率较高时,其效率要优于逐次3倍点算法.在此基础上,提出一种新的变长滑动窗口wrNAF标量乘算法,其在保证较少点加法运算优点的同时可有效降低3倍点的计算量.     

Low-Latency Elliptic Curve Scalar Multiplication

This paper presents a low-latency algorithm designed for parallel computer architectures to compute the scalar multiplication of elliptic curve points based on approaches from cryptographic side-channel analysis. A graphics processing unit implementation using a standardized elliptic curve over a 224-bit prime field, complying with the new 112-bit security level, computes the scalar multiplication in 1.9?ms on the NVIDIA GTX 500 architecture family. The presented methods and implementation considerations can be applied to any parallel 32-bit architecture.     

基于重编码的快速标量乘算法*

采用回溯法设计出一种重编码算法。该算法只需对标量序列进行一次变换、至多四个中间变量,以及只需基于比特位比较赋值操作,效率更高,利于硬件实现标量乘法,并证明了所得结果具有正则序列的性质。该算法应用到计算数字签名中常用的gP+hQ时,得到g、h的具有最小联合重量序列。