Bézier曲线合并的区间逼近

从区域逼近的全新角度来研究几何逼近的核心问题之一:曲线的近似合并.给出了将两条或多条平面Bézier曲线合并为一条尽量细窄的区间Bézier曲线的两种方法:一是基于求已知Bézier样条曲线的上下边界直接得到区间控制顶点的值,从而诱导出一条区间合并Bézier曲线;二是基于最小二乘法求出原多段Bézier曲线合并结果的最佳一致逼近曲线作为区间Bézier曲线的中心曲线,再取区间Bézier点为常值域或变值域来得出两种误差曲线.给出大量实例来展示上述算法的逼近效果,并进行分析与比较.结果表明,算法在实现外形信息的几何逼近及数据转换方面有明显的应用前景,并可推广于空间Bézier曲线、圆域Bézier曲线、有理Bézier曲线的合并.     

Bézier曲线的近似弧长参数化方法

通过求出曲线近似二分之一弧长的点及其相应的参数值,可将曲线分割为2段Bézier曲线,这2段曲线的弧长近似相等,而且都具有单位长度的参数区间;将这2段曲线看作一个整体并对它们的参数进行全局化,可得到一条新曲线,其近似弧长的中点对应于新的全局参数区间的中点;对新生成的Bézier曲线不断重复上述工作,最终得到一条分段Bézier曲线.将该曲线表示为B样条曲线的形式便得到一条近似弧长参数化曲线.     

Bézier样条曲线改进的近似弧长参数化方法

提出了Bézier样条曲线利用分割技术近似弧长参数化的一种方法,并给出了相应的算法。通过求出曲线上所谓的‘最坏点’并在相应点处进行分割,可得到两条Bézier样条曲线。让这两条Bézier样条曲线具有与它们的近似弧长成比例的权,并对所得到的新的Bézier样条曲线进行同样的工作最终可得到一条由多条Bézier样条曲线所构成的新曲线。将这多条Bézier样条曲线合并成为一条Bézier样条曲线并通过节点插入技术将所得Bézier样条曲线转化为B-样条曲线的形式可得到全局参数域,其中各条Bézier曲线在全局参数域中所占子区间的长度与它们的权成比例,这样便得到了一条近似弧长参数化曲线。     

椭圆offset曲线的多项式逼近算法

首先对椭圆进行必要的细分,然后将每一段椭圆弧的offset曲线用一段Bézier曲线逼近,进而得到G1连续的分段Bézier曲线作为椭圆offset曲线的近似.该算法一方面给出了计算Bézier曲线段控制顶点的表达形式,计算简单;另一方面对offset曲线的逼近误差给出了整体估计,并且利用整体误差估计决定细分椭圆的段数,构造了满足给定容差的近似曲线.     

两相邻Bézier曲线的近似合并

利用Bézier曲线细分后的矩阵表示,将所定义的原Bézier曲线与合并Bézier曲线间的距离函数取最小值,给出一种把两相邻Bézier曲线合并成一条Bézier曲线的方法.在合并过程中,分别考虑了合并Bézier曲线在左右端点处与原Bézier曲线达到高阶插值的合并以及合并Bézier曲线插值于原Bézier曲线上的某些点的合并.指出提高合并Bézier曲线的次数可减小合并误差,改善合并效果.最后给出数值例子.     

L∞范数下使用基本曲线和修正曲线的带约束Bézier曲线降阶

为避免直接求解基于L∞距离的带约束逼近的非线性最优解引起的复杂性,提出了一种把降阶逼近曲线分解为基本曲线和修正曲线的降阶方法.基本曲线利用约束Legendre多项式可得到显式解,且保证降阶后曲线满足要求的边界插值条件;修正曲线的控制顶点由降阶逼近曲线和原曲线的差定义,能够在L∞范数意义下极小化降阶逼近曲线与原曲线的误差.文中方法以简单稳定的方式实现保端点插值的一次降多阶,并达到L∞范数意义下对原曲线的近似最佳逼近.最后通过实例说明了文中方法的有效性.     

带边界约束的4片相邻三角Bézier曲面的近似合并

基于Jacobi基的性质以及条件极值问题的求解,对4片相邻三角Bézier曲面进行了近似合并.首先利用Jacobi基的正交性及其与Bézier基之间的基转换矩阵,得到合并前后三角Bézier曲面距离函数的L2范数;为了保证合并前后三角Bézier曲面在边界C0连续以及角点处高阶连续,控制顶点必须满足一系列线性约束.为得到与原曲面距离最小的近似合并曲面,只需要利用Lagrange乘子法解决带线性约束的条件极值即可.合并三角Bézier曲面的控制顶点可用矩阵显式表达,且合并的逼近误差可由合并前后曲面距离函数的L1范数形式精确给出.通过提高合并三角Bézier曲面的次数,可减小合并误差、改善合并效果.数值实例表明,该方法计算简单、直接,适用性强,逼近效果佳.     

Bézier曲线降阶的迭代算法

为提高Bézier曲线降阶的稳定性,提出以基于L_2范数的逼近误差为指导的一种迭代算法. 该算法从一条初始Bézier曲线开始逐渐地对其控制顶点进行偏移,得到具有误差最小的逼近曲线; 同时,应用线性搜索方法来优化控制顶点的偏移,使得在每次迭代后逼近误差可以达到局部最小. 实例结果表明了该算法的快速收敛性.     

G1端点约束的Bézier曲线曲面的Ribs和Fans

为了得到Bézier曲线曲面的更加适用于网络传输的分解和重构算法,研究了带1阶端点(角点)约束的Bézier曲线曲面的Ribs和Fans,并且得到了相应的曲线曲面的光滑部分和细节部分.反过来,给定Bézier曲线的光滑部分和细节部分,给出了重构原曲线的算法.另外,还把Ribs和Fans的概念与算法推广到三角Bézier曲面.1张n次的三角Bézier曲面能够分解为1张n-1次的Rib、1张n-3次的Fan和3条n-4次Bézier曲线(Fans).数值例子表明对曲线曲面的光滑部分和细节部分的分解是更优与更有效的.     

带G~1连续约束的Bézier曲线显式最佳降多阶

为了克服已有Bézier曲线降阶算法在保G1连续约束条件下仅给出数值解的缺陷,提出一种Bézier曲线在端点处保G1连续的最佳显式降阶算法.在求解以逼近误差为目标函数的最小化问题过程中,首先给出了Bernstein多项式在两端点保高阶几何连续条件下降阶的最佳显式解;其次给出了Bézier曲线在两端点处保G1连续条件下降阶的最佳显式解;最后给出了降阶曲线的控制顶点和逼近误差的2个显式矩阵表示.数值实例结果表明,文中算法比其他算法的精度高、效率高.     

近似弧长参数化Bézier曲线的最佳逼近

考虑近似弧长参数化Bézier曲线的逼近问题。当获得Bézier曲线的一个近似弧长参数化[1]之后,这种参数化只能达到C0-连续性。为了增加其参数连续性,利用其带有端点约束的关于L2-模的最佳逼近以得到具有C2-连续性的Bézier样条曲线。实验证明,这种逼近的效果是十分理想的。     

Bézier曲线的重新参数化

提出Bézier曲线的近似弧长参数化方法及相应的算法.给定一条Bézier曲线,利用曲线参数域的一个二次变换对曲线进行重新参数化,使得曲线的参数化更接近于弧长参数化.该算法的关键是所使用的变换保持曲线的正则性.实验证明,用文中方法进行重新参数化之后,曲线上点的分布得到了改善.     

Bézier样条曲线的近似弧长参数化方法

提出了Bézier样条曲线近似弧长参数化的方法及相应的算法.通过求出曲线近似二分之一弧长的点及其相应的参数值,可将曲线分割为两条Bézier样条曲线.这两条曲线的弧长近似相等,因此让它们带有相同的权1.对新生成的Bézier样条曲线不断重复上述工作,最终得到一条由多条Bézier样条曲线所构成的新的曲线.将这多条Bézier样条曲线合并为一条Bézier样条曲线,进而通过节点插入技术将其转化为B样条形式的曲线以便得到全局参数,其中各段Bézier曲线在全局参数域中所占子区间的长度与它们所具有的权成比例,这样便得到一条近似弧长参数化曲线.     

基于遗传算法的C-Bézier曲线降阶

针对C-Bézier曲线的近似降阶问题,基于遗传算法,给出了一种用n次C-Bézier曲线最小平方逼近n+1次C-Bézier曲线的方法。该方法从最优化思想出发,把C-Bézier曲线的降阶问题转化为求解函数的优化问题,通过选择适应值函数,利用简单的循环执行复制、交叉、变异、选择求出该优化问题的最优值,从而实现了C-Bézier曲线在端点无约束和端点G0约束条件下的近似降阶逼近。实例结果表明,所提方法不仅可以获得较好的降阶效果,而且易于实现、精度高、误差计算简单,可以广泛地应用于计算机辅助设计中对曲线的近似降阶。     

OR插值曲线构造及Bézier曲线逼近

根据平面多项式曲线的等距有理参数化条件,构造了具有不同连续阶的OR插值曲线.由于OR曲线可通过恰当的参数变换产生有理形式的等距线,因此根据给定B啨zier曲线离散端点条件,可构造特定连续阶的OR样条曲线来逼近该Bézier曲线,而将OR样条曲线的精确等距线作为B啨zier曲线的逼近等距线.     

Bézier曲线/曲面间最近距离的几何裁剪算法

曲线、曲面间距离的计算问题在CAD/CAM、计算机图形学中有着广泛的应用.为了精确计算Bézier曲线/曲面间的最近距离,结合稳定的曲线、曲面分裂技术提出一种基于offset滚动球裁剪的几何算法.首先给出判定条件来裁剪去落在曲面的滚动球外的曲线段,或者落在曲线的滚动球外的曲面片,以摒弃大部分不包含最近点的曲线段或曲面片,为后续可能的Newton方法提供较好的初始点;然后给出判定最近点是否落在曲线的端点或曲面的边界曲线上的条件,将曲线/曲面间的距离计算问题转化为点/曲面或曲线/曲线间的距离计算问题,简化了问题的复杂度,提高了计算效率.实例结果表明,文中算法具有较好的稳定性和较高的效率.     

三次B样条曲线的重合判断算法

曲线和曲线求交计算是CAGD领域的一个基本问题,但现有的求交算法都无法处理曲线重合的情况.在2条三次Bézier曲线重合判断条件的基础上,提出一种判断2条三次B样条曲线是否重合的算法.对于每条B样条曲线,首先将其分割成若干Bézier曲线段,然后判断2条Bézier曲线段是否可以合并为一段;通过合并Bézier曲线段,将2条三次B样条曲线的重合判断问题转化为2组三次Bézier曲线段的重合判断问题.文中在理论上证明了该算法的正确性,并通过若干实例验证了其有效性.     

Bézier样条曲线改进的近似弧长参数化方法

提出了Bézier样条曲线利用分割技术近似弧长参数化的一种方法，并给出了相应的算法。通过求出曲线上所谓的‘最坏点’并在相应点处进行分割。可得到两条Bézier样条曲线。让这两条Bézier样条曲线具有与它们的近似弧长成比例的权，并对所得到的新的Bézier样条曲线进行同样的工作最终可得到一条由多条Bézier样条曲线所构成的新曲线。将这多条Bézier样条曲线合并成为一条Bézier样条曲线并通过节点插入技术将所得Bézier样条曲线转化为B一样条曲线的形式可得到全局参数域，其中各条Bézier曲线在全局参数域中所占子区间的长度与它们的权成比例，这样使得到了一条近似弧长参数化曲线。     

Bézier样条曲线的近似弧长参数化方法

提出了Bézier样条曲线近似弧长参数化的方法及相应的算法。通过求出曲线近似二分之一弧长的点及其相应的参数值,可将曲线分割为两条Bézier样条曲线。这两条曲线的弧长近似相等,因此让它们带有相同的权1。对新生成的Bézier样条曲线不断重复上述工作,最终得到一条由多条Bézier样条曲线所构成的新的曲线。将这多条Bézier样条曲线合并为一条Bézier样条曲线,进而通过节点插入技术将其转化为B样条形式的曲线以便得到全局参数,其中各段Bézier曲线在全局参数域中所占子区间的长度与它们所具有的权成比例,这样便得到一条近似弧长参数化曲线。     

圆域有理Bézier曲线

针对CAD造型系统中有理Bézier曲线数值运算的鲁棒性问题,首先提出了中心投影变换和平行投影变换下的2种圆域有理Bézier曲线,给出了它们的端点插值、仿射不变性等性质,并通过实例比较了它们的误差半径的异同;其次讨论了这2种圆域有理Bézier曲线的退化条件,给出了平行投影变换下的圆域有理Bézier曲线降阶实例.结...