基于简单迭代刚性常微初值问题的一种算法

一、引言 大家知道,目前许多处理刚性常微分方程初值问题的算法都是隐式的,因而就存在着隐式方程的求解问题。以梯形公式为例,方程     

解扩散方程的指数时间差分方法

指数时间差分方法是近年来提出求解刚性常微分方程的一种新的数值计算方法.指数时间差分方法是一种积分方法,而不是经典的差分方法.利用指数时间差分方法求解扩散方程,如一维拟线性对流扩散方程和Allen-Cahn扩散方程.扩散方程在空间方向离散后转化成刚性常微分方程.用显式指数时间差分方法和相应阶的显式Runge-Kutta方法求解刚性常微分方程.数值结果表明显式指数时间差分方法具有相同阶的显式Runge-Kutta方法相应的精度,稳定性显著提高,而且能很好地模拟扩散方程的演化行为.指数时间差分方法可用于刚性常微分方程的数值计算.     

多步Runge-Kutta方法的PDIRK实现

１．引言考虑Ｎ维刚性常微分方程的初值问题其中ｆ是充分光滑的非线性函数,由于问题（１）为刚性问题,所以仅有隐式方法能用于求解该类问题．隐式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法和隐式线性多步法是其中广泛用于求解形如（１）的方法,但这两种方法都具有各自的缺点：隐式线性多步法在方法的阶升高的时候不能保持很好的稳定性（Ｗｉｄｌｕｎｄ证明了所有Ａ稳定的这类方法的阶都不超过２）,而ｓ级隐式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法虽然能够将较高的方法阶和稳定性结合起来,却需要更多的计算量,在每个积分步中,都需要求解一个ｓＮ维的非线性的…     

基于快速汉克尔变换数值求解波方程

1．引言波方程是三大类偏微分方程中的一大类方程，即所谓双曲型偏微分方程，在解决实际问题时极为常见，会经常碰到．比如激光和微波在线性或非线性介质中的传播问题、大气中的声学问题等都要用到波方程．虽然对波方程的数值求解已经研究得很多，但在实际应用中有不同的具体情况，因此仍有必要对方程数值求解方法进行探索．差分法和有限元法是数值求解偏微分方程的两种常用方法，对波方程也不例外．在实际应用中，首先考虑到这两种方法，但显式差分格式对步长有较苛刻的要求，而有限元法是比较复杂的，本征模式（拉盖尔一高斯模）展开法对…     

一类求解刚性常微分方程的多步插值法及其平行实现

１．引言考虑ｍ维刚性常微分方程的初值问题其中ｆ是充分光滑的非线性函数当问题（１）为非刚性时,有许多可用的方法．但当问题为刚性时,仅有隐式方法才可能是刚性稳定的．其中隐式线性多步法及隐式Ｒｕｎｇｅ－ｋｕｔｔａ法是广泛使用的方in[l].法．但隐式线性多步法精度较低（Ａ稳定的隐式线性多步法不超过２阶）．当８级隐式Ｒｕｎｇｅ－ｋｕｔｔａ方法在矩阵Ｄ不为对角阵或下三角阵时,每步计算需求解一个。。阶非线性方程组,计算量很大．基于此,并为了利用并行机这一硬件环境,本文构造了将隐式线性多步法与隐式Ｒｕｎｇｅ－ｋｕｔ…     

指标约简中Gear算法的实现

基于组件的建模有时会产生高指标的微分代数方程(DAE),不能直接求解,需要进行指标约筒.Gear方法是一个经典的指标约简方法,对Gear方法从理论上进行了说明和分析.对于一类具有特殊结构的DAE,提出了Gear方法实现中的优化策略,以降低指标约简后得到的方程规模.把优化后的实现与未优化的实现进行了比对,实验结果表明,优化过的实现方法针对这类特殊的问题确实达到了更好的约简效果.     

基于Matlab 7．0 PDE工具箱求解数学物理方程

在工程领域以及相关的教学中经常涉及到数学物理方程的问题,以前要自己去推导算法、设计程序、编制软件等做一些繁重的工作,或要花巨大的资金购买相关的专业求解软件,教学中也只能讲解方程的解析解的求解过程和数值解的求解方法,没有相应的形象的图形解。于是提出直接应用Matlab 7．0的偏微分方程工具箱求解数学物理方程的方法,并用该法给出了在数学物理方程中两类重要的方程的求解实例,同时将方程的色彩解与实际物理规律、物理现象相结合进行了解释性的论证,充分说明了该法计算速度快,计算方便,求解稳定可靠、节省人力物力等优点。该方法在科研和教学中值得大力推广应用。     

显式和对角隐式Rung-Kutta方法求解中立型泛函微分方程的非线性稳定性

本文致力于研究巴拿赫空间中非线性中立型泛函微分方程显式和对角隐式Rung-Kutta方法的稳定性．获得了一些显式和对角隐式Rung-Kutta方法求解非线性中立型泛函微分方程的数值稳定性和条件收缩性结果,数值试验验证了这些结果．     

基于偏微分方程的隐式曲面光顺方法

提出隐式曲面的光顺问题．针对该问题，给出刻画隐式曲面光顺程度的能量模型，并将能量解释为关于隐函数的泛函．基于变分原理，构造出隐函数关于时间的偏微分方程。通过求解该方程得到隐函数序列，使得光顺能量逐渐变小，从而达到光顺隐式曲面的目的．另外．针对光顺问题提出的其它约束条件，如尽可能保持面积不变，保持原有的形状特征等，对模型进行修正．最后，给出方程的实用解法及实验结果。并作简单讨论．实验结果表明该方法通用、灵活、有效，而且程序易于实现．     

多变量系统的仿真软件

控制系统仿真的核心问题是微分方程组和代数方程组的联立求解.微分方程组的数值解 法很多,其中以变阶变步长Gear算法最适合控制系统仿真.基于Gear算法作者研制了 面向典型元件框图和传递函数矩阵的通用仿真软件,具有友好的人机界面,功能强,使用方便, 为控制系统的智能设计提供了有效工具.     

对流占优扩散问题的并行计算

１．引言 在刻画流体运动的某些物理现象,以及研究热的传导、粒子的扩散等问题时,都会归结到求解对流扩散方程．用有限差分方法求解该方程,若采用显式方法,计算格式简单,但它们都是条件稳定的,时间步长必须取得非常小;若采用隐式方法,方法是无条件稳定的,但要解代数方程组,求解比较困难．Ｄ．Ｊ．ＥＶＡＮＳ和Ａ．Ｒ．ＡＨＭＡＤ在文［２］中提出了用显式交替方向法求解定态椭圆型方程,对Ｌａｐｌａｃｅ方程做了数值实验．本文将这个方法推广到了时间依赖的问题,而且适用于对流占优扩散问题的求解．基于二阶迎风格式［１］;本…     

基于IMEX的织物动态仿真的近似解法

织物在空间运动的刚性特征始终是困扰织物动态仿真的难题．显式方法简单灵活，易于实现，但受稳定因素影响，无法实现具有刚性特征的织物动态模拟；隐式方法稳定性好，却忽略了非线性因素，而且计算复杂，直接影响到仿真的最终结果和实际效率．针对这一问题，提出了基于隐式一显式的近似解法，该方案从系统受力形变的非线性特征出发，将质点受力分为线性和非线性两部分，线性部分采用隐式解法，非线性部分利用显式解法，线性方程组的求解则运用近似解法．实验结果表明，该方法兼具两种方法的优点，既保留了隐式方法的稳定性，又充分利用了显式方法的简易性处理非线性特征，从而从真正意义上解决织物仿真中的刚性问题．     

一类随机分数阶微分方程隐式Euler方法的弱收敛性与弱稳定性

本文主要研究了一类随机分数阶微分方程隐式Euler方法的弱收敛性与弱稳定性.首先构造了数值求解随机分数阶微分方程的隐式Euler方法,然后证明该方法是弱稳定的和1阶弱收敛的,文末给出的数值算例验证了所获得的理论结果的正确性.     

刚性多滞量积分微分方程的BDF方法

本文研究了求解刚性多滞量Volterra型积分微分方程的BDF方法的非线性稳定性和计算有效性．经典BDF方法被改造用于求解一类刚性多滞量Volterra型积分微分方程,数值试验表明所给出的方法是高度有效的．此外,证明了在适当条件下,其扩展的BDF方法是渐近稳定和整体稳定的．     

基于勒让德多项式逼近的4级4阶隐式Runge-Kutta方法

利用勒让德多项式逼近理论和高斯-洛巴托求积公式,构造了一个4级4阶的隐式RungeKutta方法.理论分析发现,该算法具有良好的稳定性-是A(α)稳定的且α接近于90~0,是刚性稳定的且D值接近于0,几乎是A稳定的和L稳定的,并能有效求解刚性常微分方程初值问题,数值算例显示了该算法的有效性.     

PDE与DAE耦合系统求解方法

针对目前Modelica语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题,提出一种求解PDE与DAE耦合系统的方法.首先采用径向基函数构造近似函数,将未知量场函数的时空变量分开;然后运用配点法对空间变量进行离散,从而将PDE问题转化为DAE问题;最后采用成熟的DAE求解器进行求解,得到场函数在任意时空点的函数值.实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现PDE与DAE耦合系统的一致求解,且求解精度高、稳定性好、边界条件处理简单.     

计算微分代数系统的实时仿真算法

§１．引言 对于由微分代数方程所表示的动力系统的数值算法,针对微分代数方程的一些特殊形式已经构造了一些有效算法如文献[1]-［４］．这些数值算法大部分都是基于常微分方程的一些隐式公式如隐式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法,向后微分公式（ＢＤＦ）等,因此这些算法都是非实时仿真算法．如果我们直接用求解常微分方程的显式公式如显式 Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法,显式线性多步法等,虽然满足了实时仿真算法的一些特点,但是这些数值公式对微分代数方程的求解不甚理想．由于一个实时仿真算法具有实时性、周期性、可靠性等特性要求,因…     

两种半隐式三阶随机Runge-Kutta方法

根据彩色树理论,构造了两种求解Stratonovich型随机微分方程的半隐式三阶随机Runge-Kutta方法,给出了这两种方法的稳定性分析,其稳定区域比现有方法的稳定区域大;数值模拟的结果表明两个方法都具有较高的精度。     

缸套-活塞系统中DAE与PDE联合求解方法

针对内燃机缸套-活塞系统中DAE(Differential-Algebraic Equation)和PDE(Partial Differential Equation)难以用专业软件进行求解的问题,提出一种联合求解该系统中DAE与PDE的新方法。首先,在Dymola平台上建立该系统的DAE模块,同时在Matlab平台上构建它的PDE部分,然后通过建立DAE和PDE模块之间连接通信接口实现联合求解。这里,以某型号汽油机为实例,在考虑其活塞二阶运动、缸套-活塞之间油膜厚度变化、摩擦力及摩擦功耗等因素的条件下,建立了缸套-活塞系统模型,并对该模型进行了数值分析求解。通过对求解结果的分析,验证了这种求解方法的可行性。结果表明,采用上述方法求解,大大减少了缸套-活塞系统建模工作量,避免了活塞动力学方程变量代换,减少建模中方程编辑出错,同时也保证求解过程中算法的稳定性和求解结果的正确性。     

Runge-Kutta型波形松弛方法的A-稳定

描述芯片或电力系统运行规律的常用数学模型是高维微分代数方程组,其中的微分方程组太大,诸如线性多步法和Runge-Kutta(RK)法等经典数值方法均不能有效求解.为求解这些微分方程组,学者们提出了波形松弛(WR)方法.多数情况下,这些微分方程组是刚性的,求解他们需要稳定性好的隐式方法,尤其需要A-稳定的方法.此外,RK方法是使用最广泛的常微分方程的数值方法.然而,迄今为止尚未发现RK型WR方法A-稳定的研究.本文研究了RK型WR方法的A-稳定性,获得了方法A-稳定的充分条件.常见A-稳定的RK方法有Gauss-Legendre方法、Radau IA方法、Radau IIA方法、Lobatto ⅢA方法、LobattoⅢB方法、LobattoⅢC方法,而且并非RK方法A-稳定,相应的RK型WR方法也A-稳定.在一个假设下,本文所得结果说明当选择低阶Radau IA方法,或Radau IIA方法,或LobattoⅢC方法为底层方法时,存在分裂方式使得RK型WR方法是A-稳定的.