四次Hermite曲线的构造及其特性

在Hermite曲线插值理论基础上,针对工程应用中的特殊要求,提出了四次Hermite捅值曲线的概念．所构造的四次Hermite曲线满足给定点位置矢量和一阶导数矢量的条件,保证构造曲线处于给定锥面上,达到准双曲面齿轮轮廓曲线的插值精度要求．     

双二次Hermite插值与双二次样条插值

在一维插值问题中,如果给定节点处的函数值和一阶导数值,我们来构造分段插值多项式,其整体具有连续的一阶导数,并且使多项式的次数尽可能低.众所周知,一般采用三次分段Hermite插值函数,其逼近阶对于足够光滑的函数为四阶.然而,对于光滑度较差的函数,三次Hermite插值不但达不到最高的逼近阶,而且容易出现多余的拐点.从保     

带参数的四次Hermite插值样条

为了克服标准三次Hermite插值样条的不足,给出了一种带参数的四次Hermite插值样条,具有标准三次Hermite插值样条完全相同的性质。在插值条件给定时,四次Hermite插值样条的形状可通过改变参数的取值进行调控。通过选择合适的参数,四次Hermite曲线能达到C2连续,而且其整体逼近效果要好于标准三次Hermite插值样条。所提出的新样条进一步丰富了Hermite插值样条理论,也为工程中插值曲线曲面的构造提供了一种新方法。     

三次Hermite参数曲线与曲面的扩展

在给定插值条件时,标准三次Hermite参数曲线与曲面的形状无法调整。为克服标准三次Hermite参数曲线与曲面的不足,首先通过提高基函数次数的方法给出了一种带形状参数的四次Hermite基函数,然后生成了相应的带形状参数的四次Hermite参数曲线与曲面。所生成的曲线与曲面是标准三次Hermite参数曲线与曲面的扩展,不仅与标准三次Hermite曲线与曲面具有完全相同的性质,而且当插值条件给定时,其形状可通过修改形状参数的取值进行局部或整体调节,为插值曲线与曲面的构造提供了一种新方法。     

一种显式Hermite曲线插值方法

Hermite曲线插值要求插值曲线不仅严格通过型值点,还要满足型值点处的各阶导数切触条件.针对传统隐式或半显式Hermite曲线插值方法中求解复杂、非严格插值等问题,提出一种显式Hermite曲线插值方法.首先构造了一类基数型Hermite插值基函数,该基函数具有局部支集、对称性、高阶连续等性质;然后将该基函数与给定的Hermite插值条件调配,得到一条严格满足各阶切触条件的k次样条曲线.实验结果表明,利用文中方法得到的插值曲线不仅严格满足插值条件,还具有光滑的曲率与较高的插值精度;与传统方法相比,该方法具有插值过程简单、无需求解方程组的优点.     

基于能量优化G2连续插值三次样条曲线

给出了一种在能量优化意义下构造G2连续保形插值三次参数样条曲线的方法.具体步骤如下:(1)以曲线应变能最小为目标构造目标函数,通过解线性方程组,求出优化意义下的每个插值点处的最优切矢方向;(2)用文中给出的简易公式求出各插值点的曲率,进而计算出插值点处的切矢模长,使曲线满足G2连续、保形插值的条件;(3)用Hermite插值方法求出相邻两插值点间的曲线.实验结果显示了方法的有效性.     

带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线

给出了一种带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线,具有标准三次Hermite插值样条曲线完全相同的性质。给定插值条件时,样条曲线的形状可通过改变形状参数的取值进行调控。在适当条件下,该样条曲线对应的Ferguson曲线可精确表示椭圆、抛物线等工程曲线。通过选择合适的形状参数,该插值样条曲线能达到[C2]连续,而且其整体逼近效果要好于标准三次Hermite插值样条曲线。     

平面插值三次PH样条的构造

讨论平面上三次PH曲线Hermite插值问题.当通过插入满足条件的中间数据来构造段数最少的C1插值PH样条曲线时,对于固定的弦长,如果所给的切矢模长太大或夹角太小,符合C1插值条件的解可能不存在,结合优化手段,给出了适当调整模长的大小,来求得符合G1插值条件的解的方法.拓宽了PH曲线在机器人路径的设计、数控加工的计算等方面的应用范围.     

逼近三次B 样条导矢曲线的四次Hermite 插值样条

给出了形状可调的四次Hermite 插值样条曲线的构造方法。四次样条曲线可提供额 外的自由度用于调整曲线具有合理形状。利用导矢逼近使得四次Hermite 样条曲线具有与三次B 样条曲线相似的形状。通过最小化曲线间的导矢误差给出了确定自由度的方法,提出了四次 Hermite 插值样条曲线的构造方法。该方法增加了自由度控制曲线形状能更好满足保形要求。最 后以实例对构造的四次Hermite 样条曲线和标准三次Hermite 插值样条曲线进行了比较。     

基于能量优化G2连续插值三次样条曲线

给出了一种在能量优化意义下构造G²连续保形插值三次参数样条曲线的方法。具体步骤如下：（1）以曲线应变能最小为目标构造目标函数，通过解线性方程组，求出优化意义下的每个插值点处的最优切矢方向；（2）用文中给出的简易公式求出各插值点的曲率，进而计算出插值点处的切矢模长，使曲线满足G²连续、保形插值的条件；（3）用Hermite插值方法求出相邻两插值点间的曲线。实验结果显示了方法的有效性。     

Pointwise radial minimization: Hermite interpolation on arbitrary domains

In this paper we propose a new kind of Hermite interpolation on arbitrary domains, matching derivative data of arbitrary order on the boundary. The basic idea stems from an interpretation of mean value interpolation as the pointwise minimization of a radial energy function involving first derivatives of linear polynomials. We generalize this and minimize over derivatives of polynomials of arbitrary odd degree. We analyze the cubic case, which assumes first derivative boundary data and show that the minimization has a unique, infinitely smooth solution with cubic precision. We have not been able to prove that the solution satisfies the Hermite interpolation conditions but numerical examples strongly indicate that it does for a wide variety of planar domains and that it behaves nicely.     

六次PH 曲线G2 Hermite 插值

以其在弧长计算与等距线表示上的优势,PH 曲线成为近年来计算机辅助几何设计 研究的焦点问题之一。为此讨论了六次PH 曲线的G2 Hermite 插值问题。在指定自由参数下,对 两类六次PH 曲线分别进行复分析曲线求解,得到满足G2 插值条件的六次PH 曲线和控制顶点。 通过弧长、能量积分、绝对旋转数的衡量,选取较好的插值曲线。进一步,讨论了用六次PH 曲 线G2 Hermite 插值逼近90°和67°圆弧的问题。在同一个自由参数下,选择插值最好的曲线,可 实现六次C1 Hermite 插值逼近圆弧的效果,且逼近90°圆弧时,优于五次G2 Hermite 插值逼近的 PH 曲线,而逼近67°圆弧时,与最好的五次PH 曲线达到的效果几乎相同。     

On the approximation order of a space data-dependent PH quintic Hermite interpolation scheme

Dealing with Pythagorean Hodograph quintic Hermite interpolation in the space, we deepen the analysis of the so-called CC criterion proposed in Farouki et al. (2008) for fixing the two free angular parameters characterizing the set of possible solutions, which remarkably influence the shape of the chosen interpolant. Such criterion is easy to implement, guarantees the reproduction of the standard cubic Hermite interpolant when it is a PH curve and usually allows the selection of interpolants with good shape. Here we first rigorously prove that the PH interpolant it selects doesn?t depend on the unit pure vector chosen for representing its hodograph in quaternion form. Then we evaluate the corresponding interpolation scheme from a theoretical point of view, proving with the help of symbolic computation that it has fourth approximation order. A selection of experiments related to the spline implementation of the method confirms our analysis.     

局部形状可调插值曲线曲面及其参数选取方案

以形状可调插值曲线曲面为研究主题的文献多数侧重于分析曲线曲面性质,少有文献介绍可调插值曲线曲面的构造方法,以及调节参数的选取方案。这里以3次Hermite插值曲线为基础,通过在导矢中引入参数来构造形状可调插值曲线,将曲线按照插值数据进行整理,即可得到含参数的插值基函数,进而由之构造张量积插值曲面。为了帮助设计者寻找合适的参数,提供了4种用于确定曲线中形状参数的准则,其中的3种还推广应用于曲面,每种准则都提供了可以直接使用的公式。所给可调插值曲线曲面的构造方法以及参数选取方案具有一般性,数值实例验证了方案的有效性。     

有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用

给出一种有理三次三角Hermite插值样条曲线,具有三次Hermite插值样条相似的性质。该样条含有三角函数和形状参数,利用形状参数的不同取值可以调控插值曲线的形状,甚至不用解方程组,就能使曲线达到C2连续。此外,选择合适的控制点和形状参数,这种样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线。     

带形状参数的类三次代数三角Hermite参数样条曲线

基于空间{1,t,sin t,cos t,sin~2t}提出了一类带形状参数的类三次代数三角Hermite参数样条曲线。该曲线不仅具有标准三次Hermite参数样条曲线的性质,而且在适当条件下能够精确表示圆、椭圆、抛物线等工程曲线。在给定插值条件时还可通过改变形状参数的取值对曲线的形状进行调控。同时,还基于光顺准则建立求解最优形状参数的数学模型,根据实际需要,该模型所求的形状参数能使得曲线达到C~1或C~2连续。实例表明,利用模型求解的最优形状参数能保证曲线具有良好的光顺性。     

High accuracy geometric Hermite interpolation

We describe a parametric cubic spline interpolation scheme for planar curves which is based on an idea of Sabin for the construction of C¹ bicubic parametric spline surfaces. The method is a natural generalization of [standard] Hermite interpolation. In addition to position and tangent, the curvature is prescribed at each knot. This ensures that the resulting interpolating piecewise cubic curve is twice continuously differentiable with respect to arclength and can be constructed locally. Moreover, under appropriate assumptions, the interpolant preserves convexity and is 6-th order accurate.