Bezier曲线到AH-Bezier曲线的升阶算法

关于曲线升阶,已有的结论往往限于同类曲线之间。为了突破这一限制,考虑不同类曲线间的升阶,关注代数多项式空间中的Bezier曲线到代数双曲多项式空间中的AH-Bezier曲线的升阶。研究从基函数入手,利用Bezier和AH-Bezier共有的求导降阶的特点,结合矩阵分块的思想,先给出AH-Bezier基到Bernstein基的转换矩阵,进而推出控制顶点的升阶公式,最后给出升阶算法。结果表明,任意n次Bezier曲线可以通过该算法升到n＋3阶（等同于n＋2次）的AH-Bezier曲线。算法实现了Bezier到AH-B＆#233;zier曲线模型的精确转换。     

AHT Bézier Curves and NUAHT B-Spline Curves

In this paper, we present two new unified mathematics models of conics and polynomial curves, called algebraic hyperbolic trigonometric （ AHT） Bezier curves and non-uniform algebraic hyperbolic trigonometric （ NUAHT） B-spline curves of order n, which are generated over the space span{sin t, cos t, sinh t, cosh t, 1, t,..., t^n-5}, n 7〉 5. The two kinds of curves share most of the properties as those of the Bezier curves and B-spline curves in polynomial space. In particular, they can represent exactly some remarkable transcendental curves such as the helix, the cycloid and the catenary. The subdivision formulae of these new kinds of curves are also given. The generations of the tensor product surfaces are straightforward. Using the new mathematics models, we present the control mesh representations of two classes of minimal surfaces.     

代数双曲空间中拟Legendre 基的应用

鉴于Legendre 基等正交基在代数多项式空间中的广泛应用,论文在深入 研究代数双曲空间的拟Legendre 基性质的基础上,给出了其在反函数逼近和等距曲线逼近 上的应用。利用多项式和双曲函数的混合多项式序列来逼近反函数,并通过实例证明给出方 法的有效性;对基曲线的法矢曲线进行逼近,构造H-Bézier 曲线的等距曲线的最佳逼近, 这种方法直接求得逼近曲线的控制顶点,计算简单,截断误差小。     

带两个参数的三角多项式曲线曲面构造

目的 为了使扩展的曲线曲面保留传统Bézier方法以及B样条方法良好性质的同时,具备保形性、形状可调性、高阶连续性以及广泛的应用性,本文在拟扩展切比雪夫空间利用开花的性质构造了一组最优规范全正基,并利用该基进行曲线曲面构造。方法 首先构造一组最优规范全正基,并给出该基生成的拟三次TC-Bézier曲线的割角算法;接着利用最优规范全正基的线性组合构造拟三次均匀TC-B样条基,根据曲线的性质假设拟三次均匀B样条基函数具有规范性和C²连续性,进而得到其表达式;然后证明拟三次均匀TC-B样条基具有全正性和高阶连续性;最后定义拟三次均匀TC-B样条曲线曲面,并证明曲线曲面的性质,给出曲线表示整圆和旋转曲面的表示方法,设计出球面和旋转曲面的直接生成方法。结果 实验表明,本文在拟扩展切比雪夫空间构造的具有全正性曲线曲面,不仅能够灵活地进行形状调整,而且具有高阶连续性、保形性。结论 本文在三角函数空间利用两个形状参数进行曲线曲面构造,大量的分析以及案例说明本文构造的曲线曲面不仅保留了传统的Bézier方法以及B样条方法的良好性质,而且具备保形性、形状可调性、高阶连续性以及广泛的应用性,适合用于曲线曲面设计。     

ωB-splines

A new kind of spline with variable frequencies, called ωB-spline, is presented. It not only unifies B-splines, trigonometric and hyperbolic polynomial B-splines, but also produces more new types of splines, ωB-spline bases are defined in the space spanned by {coso） t, sino）t, ], t, ..., t^n, ...} with the sequence of frequencies m where n is an arbitrary nonnegative integer, ωB-splines persist all desirable properties of B-splines. Furthermore, they have some special properties advantageous for modeling free form curves and surfaces.     

拥有指数参数的新三角基

目的 为了使构造的曲线拥有传统Bézier曲线的良好性质,同时还具备形状可调性、逼近性、保形性以及实用性。方法 首先在拟扩展切比雪夫空间的框架下,构造了一类具有全正性的拟三次三角Bernstein基函数,并给出了该基函数的性质;基于此基函数,构造了相应的拟三次三角Bézier曲线,分析了其曲线的性质,得到了生成曲线的割角算法以及C¹,C²光滑拼接条件,同时还提出了一种估计曲线逼近控制多边形程度的三角Bernstein算子;接着在拟三次三角Bernstein基函数的基础上提出一种三角域上带3个指数参数的拟三次三角Bernstein-Bézier基,基于此基生成了一种三角域上的拟三次三角Bernstein-Bézier曲面,该曲面可以构建边界为椭圆弧、抛物线弧以及圆弧的曲面,此外,还提出一种实用的de-Casteljau-type算法,同时还给出了连接两个曲面的G¹连续条件。结果 实验表明,本文在拟扩展切比雪夫空间中构造的具有全正性的曲线曲面,能够灵活地进行形状调整,而且具有良好的逼近性以及适用性。结论 本文在拟扩展切比雪夫空间的框架下构造了一类具有全正性的基函数,并以此基函数进行曲线曲面构造。实验表明本文构造的曲线具备传统三次Bézier曲线的所有优良性质,而且具有灵活的形状可调性。随着参数的增大,所生成的曲线能够更加逼近控制多边形,模拟控制多边形的行为。此外,本文在三角域上构造的曲面能够生成边界为椭圆弧的曲面。综上,本文提出的基函数满足几何工业的需要,是一种实用的方法。     

混合有理Bézier曲面及其三维重建

文章将Bernstein基函数与有理Bernstein基函数相结合,构造了一类新型有理曲面-混合有理Bézier曲面;给出了该类曲面的生成方法并讨论了曲面的性质。另一方面,在一种基于Newton-Thiele型非线性方法的插值曲面的三维重建理论基础上,讨论了由离散点集重建混合有理Bézier曲面的问题,为图形图象处理等研究领域提供了新的算法理论。     

Bézier曲线的同次扩展及其参数选择

目的 本文旨在构造一种含形状参数的Bézier曲线,要求该曲线定义在代数多项式空间上,其基函数的次数与相同数量控制顶点所需Bernstein基函数的次数相同,对基函数以及相应曲线的计算要尽可能简单,并且要给出常见设计要求下曲线中形状参数的选取方案。方法 以三次Bézier曲线为初始研究对象,依据由可调控制顶点定义可调曲线的思想,在两个内控制顶点中引入参数,与Bernstein基函数作线性组合生成形状可调曲线,再将曲线表达式改写成固定控制顶点与含参数的调配函数的线性组合,从而得出三次Bernstein基函数的含参数扩展基,借助递推公式得出更高次的含参数扩展基,然后观察基函数表达式的规律,给出所有含参数扩展基统一的显示表达式,分析了扩展基的性质,并由之定义含参数的曲线,分析了曲线的性质,给出了曲线的几何作图法以及光滑拼接条件,以曲线拉伸能量、弯曲能量、扭曲能量近似最小为目标,推导了曲线中形状参数的计算公式,再通过曲线图和曲率图对比分析了不同能量目标所得曲线的差异。结果 由于所给含参数的扩展基并未提升Bernstein基函数的次数,且具有统一的显示表达式,因此本文方法在赋予Bézier曲线形状调整能力的同时并未增加计算量,由于提供了可以直接使用的形状参数的计算公式,因此在使用该方法时,符合设计要求的形状参数的确定变得简单,数值实例直观显示了所给曲线造型方法以及曲线中形状参数选取方案的正确性与有效性,体现了本文方法较文献中类似方法的优越之处。结论 所给含参数扩展基的构造方法以及形状参数的选取方法具有一般性,该方法可以推广至构造含形状参数的三角域Bézier曲面。     

Bézier曲线的新扩展

给出2组含有2个形状控制参数 的四次、五次多项式基函数,其分别是三次、四次Bernstein基函数的扩展。分析2组基的性质,定义带 的2类多项式曲线：三次E-Bézier曲线和四次E-Bézier曲线,其具有三次或四次Bézier曲线的特性、形状可调性和更好的逼近性。当 时,2类曲线分别退化为三次、四次Bézier曲线。给出2个扩展曲面的定义。实例表明,定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种有效的方法。     

基于全正基的三次均匀B 样条曲线的扩展

为了构造具有保形性的三次均匀B 样条扩展曲线,首先运用拟扩展切比雪夫空间的理论框架证明现有文献中的三次Bézier 曲线的扩展基,简称λ-Bézier 基,恰为相应空间的规范B 基。然后用λ -Bézier 基的线性组合来表示三次均匀B 样条曲线的扩展基,根据预设的曲线性质反推扩展基的性质,进而求出线性组合的系数。扩展基可表示成λ-Bézier 基与一个转换矩阵的乘积,证明了转换矩阵的全正性及扩展基的全正性。由扩展基定义了基于3 点分段的曲线,分析了曲线的性质,扩展基的全正性决定了曲线可以较好的模拟控制多边形的形态。简要介绍了由扩展基定义的基于16 点分片的曲面。     

Cryptanalysis of RSA for a special case with d > e

In this paper, we study the RSA public key cryptosystem in a special case with the private exponent d larger than the public exponent e. When N ^0.258 ⩽ e ⩽ N ^0.854, d > e and satisfies the given conditions, we can perform cryptanalytic attacks based on the LLL lattice basis reduction algorithm. The idea is an extension of Boneh and Durfee’s researches on low private key RSA, and provides a new solution to finding weak keys in RSA cryptosystems. Supported partially by the National Basic Research Program of China (Grant No. 2003CB314805), the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 90304014 and 60873249), and the Project funded by Basic Research Foundation of School of Information Science and Technology of Tsinghua     

T-Bézier曲线及G~1拼接条件

针对目前NURBS模型的局限性问题,在对T-Bézier基函数及曲线端点特性分析的基础上,提出了k次T-Bézier基函数的表达式,通过重新参数化使其参数区间范围规范为[0,1],给出了椭圆弧和心脏线的T-Bézier表示,并给出T-Bézier曲线间G1拼接的几何条件,所得结论具有明确的几何意义,能够较好地应用于曲面造型中。     

基于扩展Bézier曲线拼接的曲线造型新方法

提出了一种基于扩展Bézier曲线拼接的曲线造型新方法。该方法首先构造了一种具有优良形状可调性和更好逼近性的带3个形状参数α, β, γ的三次扩展Bézier曲线(CE-Bézier曲线);并针对CE-Bézier曲线无法精确表示圆弧和椭圆弧等二次曲线的缺点,利用CE-Bézier曲线与C-Bézier曲线间的拼接技术,解决了CE-Bézier曲线造型中圆弧和椭圆弧的表示问题。最后讨论了该方法在曲线曲面设计中的应用。造型实例表明,该方法在计算机辅助几何设计中具有一定的应用价值。     

一类Bézier型三角多项式曲线的构造

曲线的设计与修改是CAD/CAM和数控技术研究的一个重要课题,具有广泛的应用背景。为了满足表示和设计复杂自由曲线的需求,该文构造了一类扩展的Bézier型三角多项式曲线-TP-Bézier曲线,给出了TP-Bézier基函数及TP-Bézier曲线的定义与性质。通过研究发现,所构造的曲线具有Bézier曲线类似的一系列优良性质。     

Geometric algorithm for point projection and inversion onto Bézier surfaces

This paper presents an accurate and efficient method for the computation of both point projection and inversion onto Bézier surfaces. First, these two problems are formulated in terms of solution of a polynomial equation with u and v variables expressed in the Bernstein basis. Then, based on subdivision of the Bézier surface and the recursive quadtree decomposition, a novel solution method is proposed. The computation of point projection is shown to be equivalent to the geometrically intuitive intersection of a surface with the u-v plane. Finally, by comparing the distances between the test point and the candidate points, the closest point is found. Examples illustrate the feasibility of this method.     

3个控制顶点的类三次Bézier螺线

目的 为了使得过渡曲线的设计更为简单高效。提出基于3个控制顶点的类三次Bézier螺线。方法 通过对基函数的研究首先构造了3条在一定条件下曲率单调递减的类三次Bézier曲线,并由参数的对称性得另3条曲率单调递增的曲线。它们具有端点性、凸包性、几何不变性等三次Bézier曲线的基本性质,特点是只有3个控制顶点。接着严格地证明了此类曲线曲率单调的充分条件。 结果 有两条曲线比三次Bézier曲线的曲率单调条件范围大,且类三次Bézier螺线与三次Bézier螺线存在一定的位置关系。这6条曲线中有4条曲线的一个端点处曲率为零,可组合成4对类三次Bézier螺线来构造两圆弧间半径比例不受限制的S型和C型G²连续过渡曲线;剩下的两条曲线在两圆弧半径相差较大的情况下都可做不含曲率极值点的过渡曲线。最后用实例表明了此类曲线的有效性。结论 在过渡曲线设计中基于3个控制顶点的类三次Bézier螺线比三次Bézier螺线更为简单高效。     

A novel algorithm for explicit optimal multi-degree reduction of triangular surfaces

This paper introduces the algebraic property of bivariate orthonormal Jacobi polynomials into geometric approximation. Based on the latest results on the transformation formulae between bivariate Bernstein polynomials and Jacobi polynomials, we naturally deduce a novel algorithm for multi-degree reduction of triangular B~zier surfaces. This algorithm possesses four characteristics： ability of error forecast, explicit expression, less time consumption, and best precision. That is, firstly, whether there exists a multi-degree reduced surface within a prescribed tolerance is judged beforehand; secondly, all the operations of multi-degree reduction are just to multiply the column vector generated by sorting the series of the control points of the original surface in lexicographic order by a matrix; thirdly, this matrix can be computed at one time and stored in an array before processing degree reduction; fourthly, the multi-degree reduced surface achieves an optimal approximation in the norm L2. Some numerical experiments are presented to validate the effectiveness of this algorithm, and to show that the algorithm is applicable to information processing of products in CAD system.     

Bernstein Bezoutians and application to intersection problems

We study the Bézier curve-surface and Bézier surface-surface intersection problems avoiding the well-known unstable conversion between the Bernstein basis and the power basis. These varieties are given by parameterizations in Bernstein bases and all intermediate computations are performed in that form. For this purpose we construct an adapted resultant for generic Bernstein polynomial systems with a special shape which appear in the intersection problems. This construction is based on the expression of the Bezoutian matrix in Bernstein form.     

A bandwidth efficient two-user cooperative diversity system with limited feedback

A two-user cooperative diversity system based on Alamouti signaling was proposed, which utilizes the orthogonal structure of Alamouti signaling to make cooperative users relay on the shared channel resources so that the spectral efficiency of the traditional cooperative system can be improved. When M-ary phase shift keying (M-PSK) modulation and an improved selection decode-and-forward (SDF) relaying protocol with limited feedback are used at the users and m(m ⩾1) receive antennas are configured at the base station, the average bit-error-rate (BER) system performance for statistically similar uplink channels was derived and it was verified by simulations. Under various channel scenarios of interest, numerical and simulation results show that the diversity gain achieved and the BER performance of the proposed system increase with the interuser channel quality, and the full transmit diversity order of two can be obtained for sufficiently high interuser signal-to-noise ratios (SNRs). Supported by the National High-Tech Research & Development Program of China (Grant No. 2006AA01Z270), the National Natural Science Foundation of China-Guangdong (Grant No. U0635003), the Natural Science Foundation of Shaanxi Province (Grant No. 2007F07), the “111” Project (Grant No. B08038), and the Open Research Fund of State Key Laboratory of Rail Traffic Control and Safety, Bejing Jiaotong University (Grant No. RCS2008K003)     

Bézier 曲线的多项式重新参数化检测

研究了一种用于精确检测一条Bézier 曲线的次数是否可以通过多项式重新参数化 降低的算法。该算法对任意一条Bézier 曲线,将重新参数化前后的基函数的关系用方程组的形 式表达,但不需要解方程,而是通过系数表示的金字塔算法直接计算,可以精确求出用于重新 参数化的多项式和降低次数后的Bézier 曲线的控制顶点,并且该重新参数化的多项式在相差一 个线性变换的前提下是唯一的。通过实例应用,该算法运算速度较之前的算法快。